1、命题与命题的表示
推理：由一个或几个已知的前提，推导出一个未知结论的思维过程称为推理。
推理的基本要素就是表达这些前提的一些陈述句，每个陈述句或成立或不成立，一般来讲，限定于某种情况下，一个陈述句不可能既成立又不成立。成立或不成立可以看作是这个陈述勺的一个属性，称之为真值。
真值的定义：成立或不成立可以看作是某一陈述句的一个属性，称之为真值。当陈述句成立时，就说其真值为真，表示为T；当陈述句不成立时，就说其真值为假，表示为F；
注意：在语句中，一般将只有陈述句才能分辨其真假。
判断命题的两个条件：一是语句本身是个陈述句，二是它有唯一的真值。命题为真时，其真值用T或1来表示；为假时，其真值用F或0来表示。
命题符号化：在数理逻辑中，常常使用符号来表示一个命题，用符号来表示这个命题的过程称为命题的符号化。表示命题的符号既可以是大写的英文字母，也可以是小写的英文字母，如P或p;有时还可以用字母加数字来表示，为了清楚起见，数字常表示为下标，如P1或Q2。
表示命题的符号称为命题标识符。当命题标识符表示某个确定的命题时，称为命题常量或命题常项，如果命题标识符只表示命题位置，称为命题变元或命题变项。
命题为真时，其真值用"T"或"1"来表示，为假时，其真值用”F"或"0"来表示。
原子命题：一个不能再分解的命题，称为简单命题或原子命题。
复合命题：由原子命题通过联结词联结而成的命题，称为复合命题。
联结词：否定(¬)、合取(∧)、析取(∨)、条件(→)、双条件(↔)
否定
定义1.1 设P为命题，P的否定是一个符合命题，记作¬P。符号¬称作否定联结词。若P为T，¬为F；若P为F，¬P为T。命题¬P读作非P。
由定义可知，¬P是一个复合命题。复合命题的真值依命题中所含各原子命题的真值来确定，可用一张表来表示，这样的表称为真值表。联结词¬的定义如下表所示：
| P | ¬P |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
注意：否定相当于自然语言中的
非、不是、或没有等否定词。
合取
定义1.2设P、Q为两个命题，P和Q的合取是一个复合命题，记作P ∧Q。符号∧称为合取联结词。当且仅当P、Q同时为T时，P∧Q为T，其余情况P∧Q为F。
P和Q的合取表示的是P并且Q的含义。联结词A的定义如下表所示：
| P | Q | P∧Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
注意：合取相当于自然语言中的
并且、既...又...、不但...而且...、虽然..但是...、一面...一面...等词的逻辑抽象。
(1)复合命题P∧Q中的两个原子命题可以互换位置，即合取∧具有对称性。
注意：自然语言除了要符合语法外，还要符合语义。但是对于复合命题来说，我们仅关心它的表示，而忽略其语义。所以它的真值只与原子命题的真值有关，与语义无关。
(2)特别地，命题联结词“合取”可将两个互为否定的命题联结在一起。以P表示命题，P∧¬P的真值必是F，如下表所示：
| P | ¬P | P∧¬P |
|---|---|---|
| T | F | F |
| F | T | F |
析取
定义1.3设P、Q为两个命题，P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。符号V称为析取联结词。当且仅当P、Q同时为F时，P∨Q的真值为F，其余情况P∨Q的真值为T。
P和Q的析取表示的是“P或者Q"的含义。联结词V的定义如下表所示：
| P | Q | P∨Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
注意：联结词析取与自然语言中的“或”有些相似。
复合命题P V Q中的两个原子命题也可以互换位置，即析取V具有对称性。
条件
定义1.4设P、Q为两个命题，P和Q组成的条件命题是一个复合命题，记作P→Q。符号→称为条件联结词。当且仅当P的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，其余情况P→Q的真值为T。
复合命题P→Q读作“如果P那么Q”，亦可读为“若P则Q"。其中P称为前件或前提，Q称为后件或结论。
条件联结词→的定义如下表所示。
| P | Q | P→Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
条件命题表示的是，当前件发生时后件是否发生。而当前件没有发生即P为F时，后件发生或不发生都没有关系。
与合取和析取均具有对称性不同，条件命题P→Q中的前件与后件不可以互换位置，即P→Q与Q→P的含义是不同的。所以条件联结词一不具有对称性。
双条件
定义1.5设P、Q为两个命题，P和Q组成的双条件命题是一个复合命题，记作P↔Q。符号↔称为双条件联结词。当P与Q的真值相同时，P↔Q的真值为T，否则P↔Q的真值为F。
复合命题P↔Q读作P当且仅当Q。联结词↔的定义如下表所示：
| P | Q | P↔Q |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
双条件命题P↔Q表示P与Q的真值是否相同。当它们的真值相同时，也可以看作P与Q是等价的，即P与Q互为充分必要条件。
不难看出(P→Q)∧(Q→P)与P↔Q的逻辑关系完全一样， 都表示互为充要条件。
双条件命题P↔Q 中的两个原子命题互为条件，所以它们也是可交换的，即P↔Q与Q↔P的含义是完全相同的。所以双条件联结词↔具有对称性。
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