一、集合及其运算

1.1 集合概念

集合有两种表示法，且集合与元素不同， x , { x } x,\{x\} x,{x}不同，且集合中顺序无关。

1. 把所有元素列出来，中间用","间隔，两遍加上大括号。如果元素很多，且符合一定常识，可以用 " ⋯ " "\cdots" "⋯"来替代一部分。
2. { x ∣ f ( x ) } \{x|f(x)\} {x∣f(x)}，先把元素的表示形式列出来，然后以竖线间隔列出其性质。表示满足 f ( x ) f(x) f(x)性质的所有 x x x

1.2 子集、集合相等

定义1.2.1 集合的包含.

两个集合 A , B A,B A,B，若 A A A的每个元素都是 B B B中的元素，则称 A A A是 B B B的子集合，简称子集，记作 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B。称 A A A包含在 B B B中，或 B B B包含着 A A A。
A ⊆ B ⟺ ∀ x ∈ A , x ∈ B \begin{aligned} A \subseteq B \Longleftrightarrow \forall x \in A,x\in B \end{aligned} A⊆B⟺∀x∈A,x∈B​
性质:

1. A ⊆ A A \subseteq A A⊆A
2. 若 A ⊆ B 且 B ⊆ C , 则 A ⊆ C {\text{若}}A\subseteq B {\text{且}}B\subseteq C,{\text{则}}A\subseteq C 若A⊆B且B⊆C,则A⊆C

定义1.2.2 集合的真子集.

设 A , B A,B A,B是两个集合，且 A ⊆ B A\subseteq B A⊆B， ∃ x ∈ B , x ∉ A \exists x \in B,x \notin A ∃x∈B,x∈/​A，则称 A A A为 B B B的真子集，记作 A ⊂ B A\subset B A⊂B

定义1.2.3 集合的相等.

设 A , B A,B A,B是两个集合，且 A ⊆ B , B ⊆ A A\subseteq B,B\subseteq A A⊆B,B⊆A，则称 A A A与 B B B相等，记作 A = B A = B A=B

定理1.2.1 空集

空集是任一集的子集，且空集是唯一的。[其中空集唯一的证明方法为反证法,且利用了定义1.2.3的相等的概念]

定义1.2.4 集族.

以集合为元素的集合称为集族.例如 { N , R , Q } \{N,R,Q\} {N,R,Q}

定义1.2.5 幂集.

集合 S S S所有子集(包含空集与自身)所构成的集族称为S的幂集,记作 2 S 2^S 2S,且有 2 S = { A ∣ A ⊆ S } 2^S = \{A|A\subseteq S\} 2S={A∣A⊆S}.

1.3 集合的基本运算

定义1.3.1 并集

设 A , B A,B A,B是两个集合,至少属于这两个集合之一的元素构成的集合称为 A A A与 B B B的并集,记作 A ∪ B A\cup B A∪B.公式化表述为 A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A\cup B = \{x | x \in A 或 x \in B\} A∪B={x∣x∈A或x∈B}.

定理1.3.1 并运算性质

设 A , B , C A,B,C A,B,C为任意三个集合,则对于交运算,满足以下几个规律:

1. 交换律, A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A
2. 结合律, A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C A\cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C
3. 幂等律, A ∪ A = A A \cup A = A A∪A=A
4. ∅ ∪ A = A \emptyset \cup A = A ∅∪A=A
5. A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B A \cup B = B \Longleftrightarrow A \subseteq B A∪B=B⟺A⊆B

定义1.3.2 交集.

设 A , B A,B A,B是两个集合,由既属于 A A A又属于 B B B的一切元素构成的集合称为 A A A与 B B B的交集,记作 A ∩ B A\cap B A∩B.公式化表示为 A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A\cap B = \{x | x\in A 且 x\in B\} A∩B={x∣x∈A且x∈B}.

定理1.3.2 交运算性质

设 A , B , C A,B,C A,B,C是三个任意集合,则

1. 交换律, A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap A A∩B=B∩A
2. 结合律, A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C A\cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C A∩(B∩C)=(A∩B)∩C
3. 幂等律, A ∩ A = A A \cap A = A A∩A=A
4. ∅ ∩ A = ∅ \emptyset \cap A = \emptyset ∅∩A=∅
5. A ∩ B = A ⟺ A ⊆ B A \cap B = A \Longleftrightarrow A \subseteq B A∩B=A⟺A⊆B

定理1.3.3 交并运算性质-结合律

设 A A A为任一集合, { B l ∣ l ∈ I } \{B_l | l \in I\} {Bl​∣l∈I}为任一集族,则有
A ∩ ( ∪ l ∈ I B l ) = ∪ l ∈ I ( A ∩ B l ) A ∪ ( ∩ l ∈ I B l ) = ∩ l ∈ I ( A ∪ B l ) A\cap (\cup_{l \in I} B_l) = \cup_{l \in I}(A \cap B_l)\\ A \cup (\cap_{l \in I} B_l) = \cap_{l\in I}(A \cup B_l) A∩(∪l∈I​Bl​)=∪l∈I​(A∩Bl​)A∪(∩l∈I​Bl​)=∩l∈I​(A∪Bl​)

定理1.3.4 交并运算性质-分配律

设 A , B , C A,B,C A,B,C为任意三个集合,则

1. 交运算对并运算满足分配律, A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A\cap(B\cup C) = (A\cap B) \cup (A\cap C) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C).
2. 并运算对交运算满足分配律, A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A\cup(B\cap C) = (A\cup B) \cap (A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).

定理1.3.5 交并运算性质3-吸收律

对于两个集合 A , B A,B A,B,满足吸收律:

1. 满足吸收律, A ∩ ( A ∪ B ) = A A\cap (A\cup B) = A A∩(A∪B)=A
2. 还是满足吸收律, A ∪ ( A ∩ B ) = A A\cup(A\cap B) = A A∪(A∩B)=A.

定义1.3.3 两两不相交的集序列.

设 A , B A,B A,B为任意集合,如果 A ∩ B = ∅ A\cap B = \emptyset A∩B=∅,则称 A A A与 B B B不相交.若集序列 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots A1​,A2​,⋯,An​,⋯的任意两集 A i A_i Ai​与 A j A_j Aj​均不相交,则称 A 1 , A 2 , ⋯ , A n , ⋯ A_1,A_2,\cdots,A_n,\cdots A1​,A2​,⋯,An​,⋯是两两不相交的集序列.

定义1.3.4 差集.

设 A , B A,B A,B是两个任意的集合,由属于 A A A但不属于 B B B的一切元素构成的集合称为 A A A与 B B B的差集,并记作 A ∖ B A\setminus B A∖B.公式化表示为 A ∖ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A \setminus B = \{x | x\in A 且 x \notin B\} A∖B={x∣x∈A且x∈/​B}.

定理1.3.6 交对差的分配律

设 A , B , C A,B,C A,B,C为三个任意集合,交运算对差运算满足分配律,即 A ∩ ( B ∖ C ) = ( A ∩ B ) ∖ ( A ∩ C ) A \cap (B \setminus C) = (A\cap B) \setminus (A\cap C) A∩(B∖C)=(A∩B)∖(A∩C).

定理1.3.7 差判定子集

设 A , B A,B A,B为两个集合,则 ( A ∖ B ) ∪ B = A ⟺ B ⊆ A (A \setminus B) \cup B = A \Longleftrightarrow B \subseteq A (A∖B)∪B=A⟺B⊆A.

定义1.3.5 对称差.

设 A , B A,B A,B为两个集合, A ∖ B , B ∖ A A\setminus B,B\setminus A A∖B,B∖A的并集称为 A , B A,B A,B的对称差,记作 A Δ B A\Delta B AΔB.公式化表示为 A Δ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B 但 x ∉ A ∩ B } = { x ∣ x ∈ A ∪ B 但 x ∉ A ∩ B } = ( A ∪ B ) ∖ ( A ∩ B ) A\Delta B = \{x | x\in A 或 x\in B 但 x \notin A\cap B\} = \{x|x\in A \cup B 但 x\notin A\cap B\} = (A\cup B) \setminus (A\cap B) AΔB={x∣x∈A或x∈B但x∈/​A∩B}={x∣x∈A∪B但x∈/​A∩B}=(A∪B)∖(A∩B)

定理1.3.8 对称差性质

设 A , B , C A,B,C A,B,C为任意三个集合,则

1. 交换律, A Δ B = B Δ A A\Delta B = B \Delta A AΔB=BΔA
2. 结合律, A Δ ( B Δ C ) = ( A Δ B ) Δ C A\Delta (B\Delta C) = (A\Delta B) \Delta C AΔ(BΔC)=(AΔB)ΔC
3. A Δ A = ∅ A\Delta A = \emptyset AΔA=∅
4. A Δ ∅ = A A\Delta \emptyset = A AΔ∅=A
5. 交运算关于对称差满足分配律,即 A ∩ ( B Δ C ) = ( A ∩ B ) Δ ( A ∩ C ) A\cap (B\Delta C) = (A\cap B) \Delta (A\cap C) A∩(BΔC)=(A∩B)Δ(A∩C).

1.4 余集,De Morgan公式

定义1.4.1 余集.

设 S S S是一个集合, A ⊆ S A\subseteq S A⊆S,差集 S ∖ A S\setminus A S∖A称为集 A A A对集 S S S的余集,记作 A c A^c Ac,即 A c = S ∖ A A^c = S\setminus A Ac=S∖A.如果容易发生误解,则写成 C S A C_S A CS​A,表示的意义与上述相同.

性质: 设 A ⊆ S A\subseteq S A⊆S,则有下述结论.

1. S S S对 S S S的余集为空集. C S S = ∅ C_S S = \emptyset CS​S=∅.
2. C S ∅ = S , ∅ c = S C_S \emptyset = S,\empty^c = S CS​∅=S,∅c=S
3. A ∩ A c = ∅ , A ∩ C S A = ∅ A\cap A^c = \emptyset,A \cap C_S A = \emptyset A∩Ac=∅,A∩CS​A=∅
4. A ∪ A c = S , A ∪ C S A = S A\cup A^c = S,A \cup C_S A = S A∪Ac=S,A∪CS​A=S

定理1.4.1 并集的余集

并集的余集等于各余集的交集.即 ( ∪ δ ∈ I A δ ) c = ∩ δ ∈ I A δ c (\cup_{\delta \in I}A_\delta)^c = \cap_{\delta \in I}A_\delta^c (∪δ∈I​Aδ​)c=∩δ∈I​Aδc​.

定理1.4.2 交集的余集

交集的余集等于各余集的并集.即 ( ∩ δ ∈ I A δ ) c = ∪ δ ∈ I A δ c (\cap_{\delta \in I}A_\delta)^c = \cup_{\delta \in I}A_\delta^c (∩δ∈I​Aδ​)c=∪δ∈I​Aδc​.

上述两个定理可以缩小范围到两个集合.于是有

1. ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c (A\cup B)^c = A^c \cap B^c (A∪B)c=Ac∩Bc
2. ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (A\cap B)^c = A^c \cup B^c (A∩B)c=Ac∪Bc

定理1.4.3 余集与差,对称差

设 A , B A,B A,B为 S S S的子集.则

1. A ∖ B = A ∩ B c A\setminus B = A\cap B^c A∖B=A∩Bc
2. A Δ B = ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) A\Delta B = (A\cap B^c)\cup (A^c \cap B) AΔB=(A∩Bc)∪(Ac∩B)
3. A c = S Δ A A^c = S\Delta A Ac=SΔA

1.5 笛卡尔乘积

定义1.5.1 笛卡尔乘积

设 A A A与 B B B为任意两个集合,则称集合 { ( a , b ) ∣ a ∈ A , b ∈ B } \{(a,b) | a\in A,b\in B\} {(a,b)∣a∈A,b∈B}为 A A A与 B B B的笛卡尔成绩,记作 A × B A\times B A×B.

定理1.5.1 笛卡尔乘积与集合运算

设 A , B , C A,B,C A,B,C为任意三个集合,则笛卡尔乘积对并,交,差运算分别满足分配律,即

1. A × ( B ∪ C ) = ( A × C ) ∪ ( A × C ) A\times (B\cup C) = (A\times C) \cup (A\times C) A×(B∪C)=(A×C)∪(A×C)
2. A × ( B ∩ C ) = ( A × C ) ∩ ( A × C ) A\times (B\cap C) = (A\times C) \cap (A\times C) A×(B∩C)=(A×C)∩(A×C)
3. A × ( B ∖ C ) = ( A × C ) ∖ ( A × C ) A\times (B\setminus C) = (A\times C) \setminus (A\times C) A×(B∖C)=(A×C)∖(A×C)

定义1.5.2 笛卡尔乘积拓展

设 A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , . . . , A n A_1,A_2,A_3,A_4,...,A_n A1​,A2​,A3​,A4​,...,An​为n个集合,则 { ( a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n ) ∣ a i ∈ A i } \{(a_1,a_2,a_3,...,a_n)|a_i \in A_i\} {(a1​,a2​,a3​,...,an​)∣ai​∈Ai​}称为 A 1 , A 2 , A 3 , . . . A n A_1,A_2,A_3,...A_n A1​,A2​,A3​,...An​的笛卡尔乘积,记作 A 1 × A 2 × A 3 × . . . × A n A_1\times A_2 \times A_3\times ...\times A_n A1​×A2​×A3​×...×An​或 ∏ i = 1 n A i \prod_{i=1}^nA_i ∏i=1n​Ai​.

1.6 有穷集合的基数

定义1.6.1 一一对应.

设 A A A和 B B B是两个集合,如果有一个法则 ϕ \phi ϕ使 ∀ x ∈ A \forall x \in A ∀x∈A根据法则 ϕ \phi ϕ在 B B B中有唯一的一个y与x对应,这个y常常被记作 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x),而且 ∀ y ∈ B \forall y \in B ∀y∈B在 A A A中也有唯一的 x x x使在 ϕ \phi ϕ下对应 y y y.这个法则 ϕ \phi ϕ称为从 A A A到 B B B的一个一一对应.(一对一配对无余的方法).

定义1.6.1’ 一一对应

一个从集合 A A A到集合 B B B的一一对应是 A × B A\times B A×B的子集 ϕ \phi ϕ使之满足:

1. ∀ x ∈ A , ∃ y ∈ B ⇒ ( x , y ) ∈ ϕ . ( x , y ) , ( x , z ) ∈ ϕ ⇒ y = z \forall x \in A,\exists y\in B\Rightarrow (x,y)\in \phi.\\ (x,y),(x,z) \in \phi\Rightarrow y=z ∀x∈A,∃y∈B⇒(x,y)∈ϕ.(x,y),(x,z)∈ϕ⇒y=z
2. ∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A ⇒ ( x , y ) ∈ ϕ , ( x , y ) , ( x ′ , y ) ∈ ϕ ⇒ x = x ′ \forall y\in B,\exists x\in A\Rightarrow (x,y)\in \phi,\\(x,y),(x',y)\in \phi\Rightarrow x = x' ∀y∈B,∃x∈A⇒(x,y)∈ϕ,(x,y),(x′,y)∈ϕ⇒x=x′

如果 ( x , y ) ∈ ϕ (x,y)\in \phi (x,y)∈ϕ,则把 y y y记作 ϕ ( x ) \phi(x) ϕ(x),即 y = ϕ ( x ) y=\phi(x) y=ϕ(x).

定义1.6.2 有限集

集合 A A A称为有限集,如果

1. A = ∅ A = \emptyset A=∅.特殊定义基数为 0 0 0.
2. A ≠ ∅ A \neq \emptyset A​=∅且存在一个自然数 n n n,使得 A A A与 { 1 , 2 , 3 , … , n } \{1,2,3,\dots,n\} {1,2,3,…,n}间存在一个一一对应,数 n n n称为 A A A的基数,记成 ∣ A ∣ |A| ∣A∣.

如果 A A A不是有穷集,则称 A A A为无穷集.

定理1.6.1 加法法则.

设 A , B A,B A,B为两个不相交的有限集,则 ∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ |A\cup B| = |A|+|B| ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣.

定理1.6.2 有限可数多加法

设 A i , i ∈ { 1 , 2 , … , n } A_i,i\in \{1,2,\dots,n\} Ai​,i∈{1,2,…,n}为n个两两不相交的有限集,则 ∣ ∪ i = 1 n A i ∣ = ∑ i = 1 n ∣ A i ∣ |\cup_{i=1}^n A_i| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| ∣∪i=1n​Ai​∣=∑i=1n​∣Ai​∣.

定理1.6.3 乘积法则.

设 A , B A,B A,B为有穷集,则 ∣ A × B ∣ = ∣ A ∣ ⋅ ∣ B ∣ |A\times B| = |A| \cdot |B| ∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣.

定理1.6.4 有限可数多乘法

设 B i , i ∈ N , i ≤ n B_i,i\in N,i\leq n Bi​,i∈N,i≤n,为n个有限集,则 ∣ ∏ B i ∣ = ∏ ∣ B i ∣ |\prod B_i| = \prod |B_i| ∣∏Bi​∣=∏∣Bi​∣.

定理1.6.5 减法法则或淘汰原理

设 S S S为有限集, A ⊂ S A \subset S A⊂S,则 ∣ A c ∣ = ∣ S ∣ − ∣ A ∣ |A^c| = |S| - |A| ∣Ac∣=∣S∣−∣A∣.

定理1.6.6 并运算

设 A , B A,B A,B为有限集,则 ∣ A ∪ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − ∣ A ∩ B ∣ |A\cup B|= |A| +|B| - |A\cap B| ∣A∪B∣=∣A∣+∣B∣−∣A∩B∣

定理1.6.7 对称差运算

设 A , B A,B A,B为有限集,则 ∣ A Δ B ∣ = ∣ A ∣ + ∣ B ∣ − 2 ∣ A ∩ B ∣ |A\Delta B| = |A| + |B| - 2|A\cap B| ∣AΔB∣=∣A∣+∣B∣−2∣A∩B∣

定理1.6.8 逐步淘汰原理形式之一

设 A i , i ∈ N , i ≤ n A_i,i\in N,i \leq n Ai​,i∈N,i≤n为n个有穷集,则 ∣ ∪ A i ∣ = ∑ ∣ A i ∣ − ∑ ∣ A i ∩ A j ∣ + ∑ ∣ A i ∩ A j ∩ A k ∣ ⋯ , i ≠ j ≠ k , i , j , k ∈ { 1 , 2 , … , n } |\cup A_i| = \sum|A_i| - \sum|A_i \cap A_j| + \sum|A_i \cap A_j \cap A_k|\cdots,i \neq j \neq k,i,j,k \in \{1,2,\dots,n\} ∣∪Ai​∣=∑∣Ai​∣−∑∣Ai​∩Aj​∣+∑∣Ai​∩Aj​∩Ak​∣⋯,i​=j​=k,i,j,k∈{1,2,…,n}.

定理1.6.9 逐步淘汰原理形式之二

假设同上, ∣ ∩ A i c ∣ = ∣ S ∣ − ∣ ∪ A i ∣ |\cap A_i^c| = |S| - |\cup A_i| ∣∩Aic​∣=∣S∣−∣∪Ai​∣然后展开即可.

二、映射

2.1 函数的一般概念-映射

定义2.1.1 映射

​ 设 X X X与 Y Y Y是两个非空集合,一个从 X X X到 Y Y Y的映射 f f f是一个法则,根据 f f f,对 X X X中每个元素 x x x都有 Y Y Y中唯一确定的元素 y y y与之对应. f f f给 x x x规定的元素 y y y称为 x x x在 f f f下的象,而 x x x称为 y y y在 f f f下的原象. X X X称为 f f f的定义域.

​ " f f f是 X X X到 Y Y Y的映射"常记为 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y.

​ x x x在 f f f下的象 y y y常记作 f ( x ) f(x) f(x).集合 { f ( x ) ∣ x ∈ X } \{f(x)|x\in X\} {f(x)∣x∈X}称为 f f f的值域或象,记作 I m ( f ) I_m(f) Im​(f).

定义2.1.2 映射与笛卡尔乘积

​ 设 X X X与 Y Y Y是两个非空集合,一个从 X X X到 Y Y Y的映射是一个满足以下两个条件的 X × Y X\times Y X×Y的子集 f f f:

1. 对于 X X X的每一个元素 x x x,存在一个 y ∈ Y y\in Y y∈Y使得 ( x , y ) ∈ f (x,y) \in f (x,y)∈f.
2. 若 ( x , y ) , ( x , y ′ ) ∈ f (x,y),(x,y')\in f (x,y),(x,y′)∈f则 y = y ′ y = y' y=y′.单值性.

定义2.1.3 限制与扩张

​ 设 f : X → Y , A ⊆ X f:X\rightarrow Y,A \subseteq X f:X→Y,A⊆X,当把 f f f的定义域限制在 A A A上时,就得到了一个 ϕ : A → Y , ∀ x ∈ A , ϕ ( x ) = f ( x ) \phi:A \rightarrow Y,\forall x \in A,\phi(x) = f(x) ϕ:A→Y,∀x∈A,ϕ(x)=f(x), ϕ \phi ϕ被称为 f f f在 A A A上的限制,并且场营 f ∣ A f|A f∣A来代替 ϕ \phi ϕ.反过来,我们说 f f f时 ϕ \phi ϕ在 X X X上的扩张

定义2.1.4 部分映射

​ 设 f : A → Y , A ⊆ X f:A\rightarrow Y,A\subseteq X f:A→Y,A⊆X则称 f f f是 X X X上的一个部分映射.在这里,我们假设空集到 Y Y Y有一个唯一的映射,它也是 X X X到 Y Y Y的部分映射.

定义2.1.5 映射相等

​ 两个映射 f f f和 g g g被称为是相等的当且仅当 f f f和 g g g都是 X X X到 Y Y Y的映射,且 ∀ x ∈ X \forall x \in X ∀x∈X,恒有 f ( x ) = g ( x ) f(x) = g(x) f(x)=g(x).

定义2.1.6 单射

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ x , x ′ ∈ X \forall x,x'\in X ∀x,x′∈X,只要 x ≠ x ′ x\neq x' x​=x′,就有 f ( x ) ≠ f ( x ′ ) f(x) \neq f(x') f(x)​=f(x′),则称 f f f为从 X X X到 Y Y Y的单射.

定义2.1.7 满射

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果 ∀ y ∈ Y , ∃ x ∈ X , f ( x ) = y \forall y \in Y,\exists x \in X,f(x) = y ∀y∈Y,∃x∈X,f(x)=y,则称 f f f是 X X X到 Y Y Y上的满射.

定义2.1.8 一一对应

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,若 f f f既是单射又是满射,则 f f f被称为双射,或一一对应,也称作 X X X与 Y Y Y对等,记作 X ∼ Y X\sim Y X∼Y.

定义2.1.9 恒等映射

​ 设 f : X → X f:X\rightarrow X f:X→X,如果 ∀ x ∈ X , f ( x ) = x \forall x \in X,f(x) = x ∀x∈X,f(x)=x,则称 f f f为 X X X上的恒等映射. X X X上的恒等映射常记为 I X I_X IX​或 1 X 1_X 1X​.

定理2.1.1 大小关系

设 A , B A,B A,B是有限集, f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B.

1. 若 f f f满射,则 ∣ A ∣ ≥ ∣ B ∣ |A|\geq |B| ∣A∣≥∣B∣.
2. 若 f f f单射,则 ∣ A ∣ ≤ ∣ B ∣ |A|\leq |B| ∣A∣≤∣B∣.

定理2.1.2 关系

设 A , B A,B A,B是有限集, ∣ A ∣ = ∣ B ∣ |A|=|B| ∣A∣=∣B∣,则 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是单射当且仅当 f f f是满射.

映射集

从 X X X到 Y Y Y的所有映射之集记作 Y X Y^X YX,即
Y X = { f ∣ f : X → Y } Y^X = \{f|f:X\rightarrow Y\} YX={f∣f:X→Y}

2.2 抽屉原理

抽屉原理

如果把n+1个物体放到n个盒子里面,则必有一个抽屉里至少放了两个物体.

抽屉原理强形式

设 q 1 , q 2 , … , q n q_1,q_2,\dots,q_n q1​,q2​,…,qn​为n个正整数.如果把 ∑ q − n + 1 \sum q -n+1 ∑q−n+1个物体放到n个盒子里面,则必有一个盒子 i i i至少有 q i q_i qi​个物品.

1. 取所有 q = 2 q=2 q=2,就是抽屉原理普通形式
2. 如果所有 q = r q=r q=r就是导出形式

抽屉定理的"相等导出形式"

若把 n ( r − 1 ) + 1 n(r-1) + 1 n(r−1)+1个物品放到 n n n个盒子里面,至少有一个盒子含有不少于 r r r个物品.

抽屉定理"反向形式"

如果把每个盒子里面放的东西记作 m i m_i mi​,取 n ∗ q = n ∗ r n*q=n*r n∗q=n∗r.则由相等导出形式可得 : ∑ m > n ( r − 1 ) \sum m > n(r-1) ∑m>n(r−1)时,至少有一个 m i m_i mi​大于等于r.

如果n个正整数 m i m_i mi​,满足 ∑ m > n ( r − 1 ) \sum m > n(r-1) ∑m>n(r−1),则至少有一个 m i m_i mi​不小于 r r r.

2.3 映射的一般性质

首先,我们在这里假设 f − 1 f^{-1} f−1为 f f f的一个导出映射(虽然它与逆映射是同一个符号),表示的含义是:
∀ x 0 ∈ X , f ( x 0 ) = y 0 ⇒ f − 1 ( y 0 ) = x 0 \forall x_0 \in X,f(x_0) = y_0\\ \Rightarrow f^{-1}(y_0) = x_0 ∀x0​∈X,f(x0​)=y0​⇒f−1(y0​)=x0​

定理2.3.1 性质1群

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, C ⊆ Y , D ⊆ Y C \subseteq Y,D\subseteq Y C⊆Y,D⊆Y,则

1. f − 1 ( C ∪ D ) = f − 1 ( C ) ∪ f − 1 ( D ) f^{-1}(C\cup D) = f^{-1}(C) \cup f^{-1}(D) f−1(C∪D)=f−1(C)∪f−1(D)
2. f − 1 ( C ∩ D ) = f − 1 ( C ) ∩ f − 1 ( D ) f^{-1}(C\cap D) = f^{-1}(C) \cap f^{-1}(D) f−1(C∩D)=f−1(C)∩f−1(D)
3. f − 1 ( C Δ D ) = f − 1 ( C ) Δ f − 1 ( D ) f^{-1}(C \Delta D) = f^{-1}(C) \Delta f^{-1}(D) f−1(CΔD)=f−1(C)Δf−1(D)
4. f − 1 ( D c ) = f − 1 ( C Y D ) = ( f − 1 ( D ) ) c f^{-1}(D^c) = f^{-1}(C_YD) = (f^{-1}(D))^c f−1(Dc)=f−1(CY​D)=(f−1(D))c

定理2.3.2 性质2群

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y, A ⊆ X , B ⊆ X A \subseteq X,B\subseteq X A⊆X,B⊆X,则

1. f ( A ∪ B ) = f ( A ) ∪ f ( B ) f(A\cup B) = f(A) \cup f(B) f(A∪B)=f(A)∪f(B)
2. f ( A ∩ B ) ⊆ f ( A ) ∩ f ( B ) f(A\cap B) \subseteq f(A) \cap f(B) f(A∩B)⊆f(A)∩f(B)
3. f ( A Δ B ) ⊇ f ( A ) Δ f ( B ) f(A\Delta B) \supseteq f(A) \Delta f(B) f(AΔB)⊇f(A)Δf(B)

2.4 映射的合成

定义2.4.1 合成

​ 设 f : X → Y , g : Y → Z f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z f:X→Y,g:Y→Z,一个从 X X X到 Z Z Z的映射 h h h称为 f f f与 g g g的合成,如果 ∀ x ∈ X , h ( x ) = g ( f ( x ) ) \forall x \in X,h(x) = g(f(x)) ∀x∈X,h(x)=g(f(x))."映射f与g的合成"h记作 g ∘ f g\circ f g∘f,或者省一下 g f gf gf.

定理2.4.1 结合律

​ 设 f : X → Y , g : Y → Z , h : Z → W f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z,h:Z\rightarrow W f:X→Y,g:Y→Z,h:Z→W.以下式子成立:
h ∘ ( g f ) = ( h g ) ∘ f h\circ (gf) = (hg)\circ f h∘(gf)=(hg)∘f

定理2.4.2 恒等合成

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y.则 f ∘ I X = I Y ∘ f f\circ I_X = I_Y \circ f f∘IX​=IY​∘f.

定理2.4.3 已知条件的合成

​ 设 f : X → Y , g : Y → Z , h = g ∘ f f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z,h = g \circ f f:X→Y,g:Y→Z,h=g∘f.则

1. f , g f,g f,g单射,则 h h h单射
2. f , g f,g f,g满射,则 h h h满射
3. f , g f,g f,g双射,则 h h h双射

定理2.4.4 已知结论反推条件

​ 设 f : X → Y , g : Y → Z , h = g ∘ f f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z,h = g \circ f f:X→Y,g:Y→Z,h=g∘f.则

1. 若 h h h单射,则 f f f一定是单射
2. 若 h h h满射,则 g g g一定是满射
3. 若 h h h是双射,则 f f f单射, g g g满射

定理2.4.5 X→ X包含关系

​ 设 f , g f,g f,g都是 X → X X\rightarrow X X→X的映射,则 I m ( f ) ⊆ I m ( g ) I_m(f)\subseteq I_m(g) Im​(f)⊆Im​(g)的充要条件为 ∃ h : X → X \exists h:X\rightarrow X ∃h:X→X,满足 f = g ∘ h f = g\circ h f=g∘h.

2.5 逆映射

定义2.5.1 逆映射

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y.如果存在一个 g : Y → X g:Y\rightarrow X g:Y→X使得
f ∘ g = I Y g ∘ f = I X f\circ g = I_Y\\ g\circ f = I_X f∘g=IY​g∘f=IX​
则称映射 f f f是可逆的,而 g g g为 f f f的逆映射.

定义2.5.2 左右可逆

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果存在一个映射 g : Y → X g:Y\rightarrow X g:Y→X满足 g ∘ f = I X g\circ f = I_X g∘f=IX​,则称 f f f是左可逆的, g g g为 f f f的左逆映射.

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,如果存在一个映射 g : Y → X g:Y\rightarrow X g:Y→X满足 f ∘ g = I Y f\circ g = I_Y f∘g=IY​,则称 f f f是右可逆的, g g g为 f f f的右逆映射.

定理2.5.1 可逆充要条件

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,则 f f f是可逆的充分必要条件是 f f f为双射(一一对应).

定理2.5.2 逆映射唯一

​ 设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y,则如果 f f f是可逆的,那么 f f f的逆映射是唯一的,且表示为 f − 1 f^{-1} f−1.

定理2.5.3 乘积可逆

​ 设 f : X → Y , g : Y → Z f:X\rightarrow Y,g:Y\rightarrow Z f:X→Y,g:Y→Z都是可逆的,那么 g f gf gf也可逆,且 ( g f ) − 1 = f − 1 g − 1 (gf)^{-1} = f^{-1}g^{-1} (gf)−1=f−1g−1.

定理2.5.4 左右可逆充要条件

1. 左可逆的充要条件是 f f f为单射
2. 右可逆的充要条件是 f f f为满射

*2.6 置换

[前情提要]这个内容不是考试范围!

主要内容有以下几个部分

1. 置换是一个排列, ∣ S ∣ |S| ∣S∣大小的叫 ∣ S ∣ |S| ∣S∣次置换.

2. 置换在使用2*n的一个小方块表示的时候,可以换列位置.

3. 置换的乘法可以用2所用的方法来快速计算

4. 如果 a i a_i ai​对应 a i + 1 a_{i+1} ai+1​,然后构成了环,则称这个为 k k k-循环置换,其中 k k k是这个环的大小.2-循环置换又被称为对换.

5. r r r是一个 k k k-循环置换,则 r k = I r^k = I rk=I,且对于所有 1 ≤ n < k , r n ≠ I 1\leq n < k,r^n \neq I 1≤n<k,rn​=I.

6. 如果两个循环置换没有共同元素,则可以交换: α ∘ β = β ∘ α \alpha \circ \beta = \beta \circ \alpha α∘β=β∘α.

7. 循环分解:每个置换能分解成若干无共同元素的循环置换乘积.且分解出的循环置换在不考虑顺序的情况下是唯一的.

8. 每个置换都能分解若干对换的乘积.分解不唯一,但分解出来的个数的奇偶性唯一.(范德蒙行列式证明).偶数的时候叫偶置换,奇数的时候叫奇置换.

   偶置换*奇置换 = 奇置换.偶置换*偶置换=偶置换.奇置换*奇置换=偶置换.

9. n次奇偶置换个数均为 n ! 2 n!\over 2 2n!​.

*2.7 二元运算与多元运算

[前情提要]这个内容不是考试范围!

主要内容:

1. 自然数集到X的映射称为X上的一个无穷序列.1-n集合到X的一个映射称为X上长为n的(有限)序列.

2. N N N到 N N N的映射,如果 i < j , s ( i ) < s ( j ) i < j ,s(i) < s(j) i<j,s(i)<s(j)则 s s s是N的一个子序列.如果 s ( i ) = n i s(i) = n_i s(i)=ni​,那么这个子序列就记作 n 1 , n 2 , … . n i < n i + 1 n_1,n_2,\dots. n_i < n_{i+1} n1​,n2​,….ni​<ni+1​.

3. s s s是 N N N的子序列, a a a是X的一个序列,那么 a ∘ s a \circ s a∘s称为 a a a的一个子序列.

4. ϕ : X × Y → Z \phi : X \times Y \rightarrow Z ϕ:X×Y→Z,是一个X与Y到Z的二元(代数)运算. X = Y = Z X=Y=Z X=Y=Z称为X上的二元运算.

5. X X X到 Y Y Y的任一映射都是X到Y的一元运算. X = Y X=Y X=Y叫X上的一元运算,也叫变换

6. ϕ : A 1 × A 2 × ⋯ × A n → D \phi : A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \rightarrow D ϕ:A1​×A2​×⋯×An​→D称为 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​到 D D D的一个n元(代数)运算.如果都相等,则称在A上的n元运算.

7. 结合律:二元运算 ∘ \circ ∘如果满足 a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c a\circ (b \circ c) = (a\circ b) \circ c a∘(b∘c)=(a∘b)∘c则称这个运算满足结合律.

8. A A A对 B B B满足左分配律: a B ( b A c ) = ( a B b ) A ( a B c ) a B (b A c) = (a B b) A (a B c) aB(bAc)=(aBb)A(aBc).右分配律同理

9. x ∘ e = e ∘ x = x x\circ e = e\circ x = x x∘e=e∘x=x,则e为 ∘ \circ ∘的单位元素. a ∘ b = b ∘ a = e a \circ b = b\circ a = e a∘b=b∘a=e,则a,b互为逆元素.

10. 代数系的同构: ( S , + , − ) , ( T , < , > ) (S,+,-),(T,<,>) (S,+,−),(T,<,>)是两个代数系,那么存在一个一一对应 ϕ : S → T \phi : S \rightarrow T ϕ:S→T:
    ϕ ( x + y ) = ϕ ( x ) < ϕ ( y ) ϕ ( x − y ) = ϕ ( x ) > ϕ ( y ) x , y ∈ S \phi(x+y) = \phi(x) < \phi(y)\\ \phi(x-y) = \phi(x) > \phi(y)\\ x,y \in S ϕ(x+y)=ϕ(x)<ϕ(y)ϕ(x−y)=ϕ(x)>ϕ(y)x,y∈S
    那么就称这两个代数系同构.

2.8 集合的特征函数

定义2.8.1 特征函数

​ 设 X X X是一个集合, E ⊆ X E\subseteq X E⊆X.从 X X X到 { 0 , 1 } \{0,1\} {0,1}的一个如下映射称为 E E E的特征函数:
χ E = { 1 , if  x ∈ E 0 , if  x ∉ E \chi_E = \begin{cases} 1,{\text{if}\ x\in E}\\ 0,{\text{if}}\ x \notin E \end{cases} χE​={1,if x∈E0,if x∈/​E​
同时定义 C h ( X ) = { χ ∣ χ : X → { 0 , 1 } } Ch(X) = \{\chi | \chi :X \rightarrow\{0,1\} \} Ch(X)={χ∣χ:X→{0,1}}.也就是所有特征函数的集合.

定理2.8.1 幂集与特征函数集同构

​ ( 2 X , ∪ , ∩ , c ) , ( C h ( X ) , ∨ , ∧ , c ) (2^X,\cup,\cap,^c),(Ch(X),\lor,\land,^c) (2X,∪,∩,c),(Ch(X),∨,∧,c)同构.可以由 χ \chi χ作为一一对应,然后进行证明.

三、关系

3.1 关系的概念

定义3.1.1 关系定义1

​ A , B A,B A,B两个集合,一个从 A × B A\times B A×B到01的映射 R R R称为从 A A A到B的一个二元关系,或AB间的二元关系.对任何 ( a , b ) ∈ A × B (a,b)\in A\times B (a,b)∈A×B,如果其R下的象为1,则a与b符合关系R,记作aRb.反之不符合,并记作 a R̸ b a\not R b a​Rb.若A=B,则称R是A上的二元关系.

定义3.1.2 关系定义2

设A和B是两个集合。 A × B A\times B A×B的一个子集R称为从A到B的一个二元关系。如果 ( a , b ) ∈ R (a,b) \in R (a,b)∈R，则说他们符合关系R；反之不满足关系R。记录方式与3.1.1同。

定义3.1.3 定义域值域

设 R ⊆ A × B R \subseteq A \times B R⊆A×B，集合 { x ∣ x ∈ A ∧ ∃ y ∈ B , ( x , y ) ∈ R } \{x|x\in A \land \exists y \in B,(x,y)\in R\} {x∣x∈A∧∃y∈B,(x,y)∈R}为其定义域，记作 d o m ( R ) dom(R) dom(R).集合 { y ∣ y ∈ B ∧ ∃ x ∈ A , ( x , y ) ∈ R } \{y|y\in B \land \exists x \in A,(x,y)\in R\} {y∣y∈B∧∃x∈A,(x,y)∈R}为其值域，记作 r a n ( R ) ran(R) ran(R).

定义3.1.4 多值部分映射

AB两个集合，一个从 A A A到 2 B 2^B 2B的映射R叫做从A到B的一个多值部分映射.如果 a ∈ A a\in A a∈A, R ( a ) = ∅ R(a) = \empty R(a)=∅,则称 R R R在a无定义.如果 R ( a ) ≠ ∅ , ∀ b ∈ R ( a ) R(a) \neq \empty,\forall b \in R(a) R(a)​=∅,∀b∈R(a)称为a在R下的一个象或值.

定义3.1.5 二元关系与多值部分映射

一个从A到B的多值部分映射R称为A到B的一个二元关系.

定理3.1.1 定义的等价关系

定义3.1.2与定义3.1.5等价.

定义3.1.6 n元关系

设 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​是n个集合,一个其笛卡尔乘积的子集R称为其间的一个n元关系,每个 A i A_i Ai​称为R的一个域.

3.2 关系的性质

在本节中,我们讨论的是在 X X X上的二元关系 R R R,且使用的 x , y x,y x,y如无特殊说明均满足 x , y ∈ X x,y \in X x,y∈X.

定义3.2.1 自反关系

∀ x ∈ X , x R x \forall x \in X,xRx ∀x∈X,xRx.

定义3.2.2 反自反关系

∀ x ∈ X , ( x , x ) ∉ R , x R̸ x \forall x\in X,(x,x) \notin R,x \not R x ∀x∈X,(x,x)∈/​R,x​Rx

定义3.2.3 对称关系

∀ x , y ∈ X , x R y ⇒ y R x \forall x,y \in X,xRy \Rightarrow yRx ∀x,y∈X,xRy⇒yRx.

定义3.2.4 反对称关系

∀ x , y ∈ X , x ≠ y , x R̸ y \forall x,y \in X,x\neq y,x\not R y ∀x,y∈X,x​=y,x​Ry.注意,这里可以允许 x R x xRx xRx.

定义3.2.5 传递关系

∀ x , y , z ∈ X , if x R y , y R z , then x R z . \forall x,y,z \in X,{\text{if}}\quad xRy,yRz,{\text{then}}\quad xRz. ∀x,y,z∈X,ifxRy,yRz,thenxRz.

定义3.2.6 相容关系

自反且对称的关系称为相容关系.

定义3.2.7 关系的逆

R的逆记作 R − 1 R^{-1} R−1,是B到A的二元关系,且 R − 1 = { ( y , x ) ∣ ( x , y ) ∈ R } R^{-1} = \{(y,x) | (x,y) \in R\} R−1={(y,x)∣(x,y)∈R}.

3.3 关系的合成

R ⊆ A × B , S ⊆ B × C , R i 都 是 关 系 R \subseteq A\times B,S\subseteq B\times C,R_i都是关系 R⊆A×B,S⊆B×C,Ri​都是关系.

定义3.3.1 关系的合成

R R R与 S S S的合成是A到C的一个二元关系,记作 R ∘ S R \circ S R∘S.4这里表示方式与映射的合成是相反的!这里表示方式与映射的合成是相反的!这里表示方式与映射的合成是相反的!**
R ∘ S = { ( a , c ) ∣ ( a , c ) ∈ A × C , ∃ b ∈ B , a R b , b R c } R\circ S = \{(a,c)|(a,c)\in A\times C,\exist b\in B,aRb,bRc\} R∘S={(a,c)∣(a,c)∈A×C,∃b∈B,aRb,bRc}

定理3.3.1 结合律

R 1 ∘ ( R 2 ∘ R 3 ) = ( R 1 ∘ R 2 ) ∘ R 3 R_1 \circ (R_2 \circ R_3) = (R_1 \circ R_2) \circ R_3 R1​∘(R2​∘R3​)=(R1​∘R2​)∘R3​.

定理3.3.2 交并运算

1. R 1 ∘ ( R 2 ∪ R 3 ) = ( R 1 ∘ R 2 ) ∪ ( R 2 ∘ R 3 ) R_1 \circ (R_2 \cup R_3) = (R_1 \circ R_2)\cup (R_2\circ R_3) R1​∘(R2​∪R3​)=(R1​∘R2​)∪(R2​∘R3​).
2. R 1 ∘ ( R 2 ∩ R 3 ) ⊆ ( R 1 ∘ R 2 ) ∩ ( R 1 ∘ R 3 ) R_1\circ (R_2\cap R_3)\subseteq (R_1 \circ R_2)\cap(R_1\circ R_3) R1​∘(R2​∩R3​)⊆(R1​∘R2​)∩(R1​∘R3​).
3. ( R 2 ∪ R 3 ) ∘ R 4 = ( R 2 ∘ R 4 ) ∪ ( R 3 ∘ R 4 ) (R_2 \cup R_3) \circ R_4 = (R_2\circ R_4) \cup (R_3\circ R_4) (R2​∪R3​)∘R4​=(R2​∘R4​)∪(R3​∘R4​).
4. ( R 2 ∩ R 3 ) ∘ R 4 ⊆ ( R 2 ∘ R 4 ) ∩ ( R 3 ∘ R 4 ) (R_2\cap R_3) \circ R_4 \subseteq (R_2\circ R_4) \cap (R_3\circ R_4) (R2​∩R3​)∘R4​⊆(R2​∘R4​)∩(R3​∘R4​)

定理3.3.3 关系的逆的合成

1. ( R 1 ∘ R 2 ) − 1 = R 2 − 1 ∘ R 1 − 1 (R_1 \circ R_2)^{-1} = R_2^{-1}\circ R_1^{-1} (R1​∘R2​)−1=R2−1​∘R1−1​.
2. ( R ∘ R − 1 ) − 1 = R ∘ R − 1 (R\circ R^{-1})^{-1} = R\circ R^{-1} (R∘R−1)−1=R∘R−1是对称的.

定理3.3.4 传递关系

R ∘ R ⊆ R ⇔ R R\circ R \subseteq R \Leftrightarrow R R∘R⊆R⇔R是对称关系

定理3.3.5 幂

R m ∘ R n = R m + n , ( R m ) n = R m n R^m \circ R^n = R^{m+n},(R^m)^n = R^{mn} Rm∘Rn=Rm+n,(Rm)n=Rmn

定理3.3.6 抽屉原理

∣ X ∣ = n , ∣ X × X ∣ = n 2 , R 共 有 2 ( n 2 ) 个 , 故 ∃ s , t , 0 ≤ s < t ≤ 2 ( n 2 ) , R s = R t . |X| = n,|X\times X| = n^2,R共有2^{(n^2)}个,故\\ \exists s,t, 0 \leq s < t \leq 2^{(n^2)},R^s = R^t. ∣X∣=n,∣X×X∣=n2,R共有2(n2)个,故∃s,t,0≤s<t≤2(n2),Rs=Rt.

定理3.3.7 幂次扩展

已知 s < t , R s = R t s<t,R^s = R^t s<t,Rs=Rt.

1. R s + k = R t + k , k ≥ 0 R^{s+k} = R^{t+k},k \geq 0 Rs+k=Rt+k,k≥0
2. R s + k ( t − s ) = R s , k ≥ 0 R^{s+k(t-s)} = R^s,k\geq 0 Rs+k(t−s)=Rs,k≥0.
3. S = { R 0 , R , R 2 , … , R t } , ∀ q ∈ N , R q ∈ S S = \{R^0,R,R^2,\dots,R^t\},\forall q\in \N ,R^q \in S S={R0,R,R2,…,Rt},∀q∈N,Rq∈S.

定理3.3.8 对称传递关系

R R R是对称传递等价于 R = R ∘ R − 1 R = R \circ R^{-1} R=R∘R−1.

3.4 关系的闭包

假设 R R R是一个关系,某个关系性质A的闭包就是包含关系R且满足性质A的所有关系的交.简单来说就是：扩展最少的东西然后使它满足性质A。

定义3.4.1 传递闭包

R是X上的关系，X上一切包含R的传递关系的交称为R的传递闭包，用 R + R^+ R+表示。
R + = ∩ R ⊂ R ′ R ′ , R ′ 是 传 递 的 R^+ = \cap_{R\subset R'}R',R'是传递的 R+=∩R⊂R′​R′,R′是传递的

定理3.4.1 传递闭包是传递关系

定理3.4.2 计算传递闭包

R + = ∪ n = 1 ∞ R n R^+ = \cup_{n=1}^{\infty}R^n R+=∪n=1∞​Rn

定理3.4.3 计算传递闭包2

R + = ∪ n = 1 ∣ X ∣ R n R^+ = \cup_{n=1}^{|X|}R^n R+=∪n=1∣X∣​Rn

定理3.4.4 性质

R , S R,S R,S是 X X X上的二元关系

1. ∅ + = ∅ \empty^+ = \empty ∅+=∅
2. R ⊆ R + R \subseteq R^+ R⊆R+
3. ( R + ) + = R + (R^+)^+ = R^+ (R+)+=R+
4. ( R ∪ S ) + ⊇ R + ∪ S + (R\cup S)^+ \supseteq R^+ \cup S^+ (R∪S)+⊇R+∪S+.

定义3.4.2 自反传递闭包

包含R的所有自反传递关系的交就是自反传递闭包，记作 R ∗ R^* R∗

定理3.4.5 自反传递关系计算

R ∗ = R 0 ∪ R + R^* = R^0\cup R^+ R∗=R0∪R+

几个常见的记法

1. 自反闭包记作 r ( R ) r(R) r(R)
2. 对称闭包记作 s ( R ) s(R) s(R)

定理3.4.6 自反、传递闭包的性质

1. s ( r ( R ) ) = r ( s ( R ) ) s(r(R)) = r(s(R)) s(r(R))=r(s(R))
2. r ( R + ) = r ( R ) + = R ∗ r(R^+) = r(R)^+ = R^* r(R+)=r(R)+=R∗
3. s ( R ) + ⊇ s ( R + ) s(R)^+ \supseteq s(R^+) s(R)+⊇s(R+).有向图联通关系少于相同边布局的无向图

3.5 关系矩阵与关系图

关系矩阵

设X是m元集，有编号，记作 X = { x 1 , x 2 , x 3 , … , x m } X = \{x_1,x_2,x_3,\dots,x_m\} X={x1​,x2​,x3​,…,xm​}，同理Y是n元集。R是X到Y的一个二元关系。由R定义出一个 m × n m\times n m×n的矩阵 B = ( b i j ) B = (b_{ij}) B=(bij​):
b i j = { 1 , if  x i R y j 0 , if  x i R̸ y j b_{ij} = \begin{cases} 1,{\text{if}} \ x_i R y_j\\ 0,{\text{if}} \ x_i \not R y_j \end{cases} bij​={1,if xi​Ryj​0,if xi​​Ryj​​
矩阵B被称为关系R的矩阵。

命题3.5.1 两个编号法互换

如果有两种编号法，则对于同一个关系R可以假设其在两个表示法下有 B 1 , B 2 B_1,B_2 B1​,B2​两个关系矩阵，则一定存在一个每行每列只有一个1的布尔矩阵（置换矩阵） P 1 , P 2 P_1,P_2 P1​,P2​满足
B 1 = P 1 B 2 P 2 B_1 = P_1 B_2 P_2 B1​=P1​B2​P2​

命题3.5.2 性质与矩阵

1. 自反关系，对角线全1
2. 反自反关系，对角线全0
3. 对称关系，对称矩阵
4. 反对称关系， b i j ≠ b j i b_{ij} \neq b_{ji} bij​​=bji​，除非对角线
5. 传递关系， b i j = 1 , b j k = 1 ⇒ b i k = 1 b_{ij} =1,b_{jk} = 1\Rightarrow b_{ik} = 1 bij​=1,bjk​=1⇒bik​=1.
6. R − 1 R^{-1} R−1对应 B T B^T BT，转置矩阵。

命题3.5.3 布尔矩阵运算规则

A , B , C A,B,C A,B,C都是 n n n阶布尔方阵，这 C = A ∘ B C = A \circ B C=A∘B的定义是 c i j = ∨ ( a i k ∧ b k j ) c_{ij} = \lor (a_{ik} \land b_{kj}) cij​=∨(aik​∧bkj​)

1. A ∨ B = B ∨ A , A ∧ B = B ∧ A A \lor B = B \lor A,A\land B = B \land A A∨B=B∨A,A∧B=B∧A

2. ( A ∧ B ) ∧ C = A ∧ ( B ∧ C ) (A\land B)\land C = A\land (B\land C) (A∧B)∧C=A∧(B∧C)

   ( A ∨ B ) ∨ C = A ∨ ( B ∨ C ) (A\lor B)\lor C = A\lor (B\lor C) (A∨B)∨C=A∨(B∨C)

   ( A ∘ B ) ∘ C = A ∘ ( B ∘ C ) (A\circ B)\circ C = A\circ (B\circ C) (A∘B)∘C=A∘(B∘C)

3. A ∧ ( B ∨ C ) = ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A\land(B\lor C) = (A\land B) \lor (A\land C) A∧(B∨C)=(A∧B)∨(A∧C)

   A ∨ ( B ∧ C ) = ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A\lor(B \land C) = (A\lor B) \land (A \lor C) A∨(B∧C)=(A∨B)∧(A∨C)

   A ∘ ( B ∨ C ) = ( A ∘ B ) ∨ ( A ∘ C ) A\circ (B\lor C) = (A\circ B) \lor (A\circ C) A∘(B∨C)=(A∘B)∨(A∘C)

   ( B ∨ C ) ∘ A = ( B ∘ A ) ∨ ( C ∘ A ) (B\lor C)\circ A = (B\circ A) \lor (C\circ A) (B∨C)∘A=(B∘A)∨(C∘A)

定理3.5.1 关系与矩阵对应

RS是两个关系，对应矩阵 B R , B S B_R,B_S BR​,BS​，则其相应交并后的矩阵：
B R ∪ S = B R ∨ B S , B R ∩ S = B R ∧ B s B_{R\cup S} = B_R \lor B_S,B_{R\cap S} = B_R\land B_s BR∪S​=BR​∨BS​,BR∩S​=BR​∧Bs​

定理3.5.2 关系合成与矩阵

B R ∘ S = B R ∘ B S B_{R\circ S} = B_R \circ B_S BR∘S​=BR​∘BS​.前提是必须是有限集上的关系

定理3.5.3 传递闭包矩阵运算

B R + = B + = ∨ i = 1 n B R ( i ) B_{R^+} = B^+ = \lor_{i=1}^{n} B_R^{(i)} BR+​=B+=∨i=1n​BR(i)​.

华沙算法

B是原关系矩阵，A是要求的传递闭包

1. A ← B A\leftarrow B A←B
2. k ← 1 k \leftarrow 1 k←1
3. i ← 1 i \leftarrow 1 i←1
4. if  a i k = 1 , ∀ j ∈ [ 1 , n ] , a i j ← a i j ∨ a k j {\text{if}}\ a_{ik} = 1,\forall j \in [1,n],a_{ij} \leftarrow a_{ij}\lor a_{kj} if aik​=1,∀j∈[1,n],aij​←aij​∨akj​
5. i ← i + 1 , if i ≤ n , goto  4 i \leftarrow i+1,{\text{if}}\quad i \leq n,{\text{goto}}\ 4 i←i+1,ifi≤n,goto 4
6. k ← k + 1 , if k ≤ n , goto  3 k \leftarrow k+1,{\text{if}}\quad k \leq n,{\text{goto}}\ 3 k←k+1,ifk≤n,goto 3

关系图画法

• 元素：一个点表示一个元素，在旁边标上这个元素的名字。
• 关系：一个 x R y xRy xRy表示为一个从x到y的有向线段。
• 特殊关系： x R y , y R x xRy,yRx xRy,yRx画个圆， x R x xRx xRx自己指向自己的闭环（自闭）

1. 自反：都有自环。反自反，没有自环。
2. 对称：有矢线，则必有环。反对称：除了自环，没环。
3. 传递：一个矢线(a,b),一个矢线(b,c)，则必由矢线(a,c)

对角分块矩阵与关系图

如果关系图里面可以划分成好几个不相连的块，按照这个分组方法对应到关系矩阵中，就是分块对角阵。

3.6 等价关系与集合的划分

定义3.6.1 等价关系

集合 X X X上的二元关系 R R R被称为等价关系当且仅当其满足以下性质:

1. R是自反关系, x R x xRx xRx
2. R是对称的, x R y , y R x xRy,yRx xRy,yRx
3. R是传递的, x R y , y R z ⇒ x R z xRy,yRz\Rightarrow xRz xRy,yRz⇒xRz

抽象讨论时，常用 ≅ \cong ≅来表示等价关系。常见的关系有：恒等关系、同余关系、无向图上的到达连通关系。

定义3.6.2 等价类

设 ≅ \cong ≅是X上的等价关系, x ∈ X , E x = { y ∣ y ∈ X ∧ x ≅ y } , E x ⊆ X x\in X,E_x = \{y|y\in X \land x \cong y\},E_x\subseteq X x∈X,Ex​={y∣y∈X∧x≅y},Ex​⊆X,称为x关于 ≅ \cong ≅的等价类,或简称为x的等价类.也常被记作[x] (这边那个括号的横线部分应该是斜着的,但我没找到那个符号的公式).

定义3.6.3 划分

X是一个集合,X的一些非空子集形成的集族A为X的一个划分,当且仅当A有以下性质:

1. ∀ B 1 , B 2 ∈ A , if  B 1 ≠ B 2 , B 1 ∩ B 2 = ∅ \forall B_1,B_2 \in A,{\text{if}}\ B_1 \neq B_2,B_1\cap B_2 = \empty ∀B1​,B2​∈A,if B1​​=B2​,B1​∩B2​=∅
2. ⋃ B ∈ A B = X \bigcup_{B\in A} B = X ⋃B∈A​B=X.

如果A是X的一个划分,且 ∣ A ∣ = k |A| = k ∣A∣=k,则称A为X的一个k-划分.例如: { [ 0 ] , [ 1 ] } \{[0],[1]\} {[0],[1]}是模2同余的一个2-划分.

定理3.6.1 等价类与划分

等价关系的所有等价类的集合是X的一个划分.

定理3.6.2 划分表示关系

如果A是X的一个划分,那么令 ≅ = ⋃ B ∈ A B × B \cong = \bigcup_{B\in A} B\times B ≅=⋃B∈A​B×B是X上的一个等价关系,且A就是它等价类之集.

定理3.6.3 用划分判定等价关系

原话：集合 X X X上的二元关系 ≅ \cong ≅是一个等价关系,当且仅当存在 X X X的一个划分 A A A使得 x ≅ y x\cong y x≅y的充分必要条件是 ∃ B ∈ A \exists B \in A ∃B∈A使得 x , y ∈ B x,y\in B x,y∈B.(我觉得很抽象)

我的理解： X X X上有个二元关系 R R R,以下是充要条件

1. 存在一个划分 A = { B 1 , B 2 , B 3 , … , B n } A = \{B_1,B_2,B_3,\dots,B_n\} A={B1​,B2​,B3​,…,Bn​}
2. ∀ x R y ⇔ x ∈ B t 且 y ∈ B t \forall xRy\Leftrightarrow x\in B_t{且}y \in B_t ∀xRy⇔x∈Bt​且y∈Bt​

也就是说:把所有有关系的都搞到一个集合,然后形成的集族是原集合X的一个划分.

定义3.6.4 商集

设 ≅ \cong ≅是X上的等价关系.由 ≅ \cong ≅确定的X的划分- ≅ \cong ≅的所有等价类之集称为X对 ≅ \cong ≅的商集,记作 X / ≅ X/\cong X/≅.公式化表示为 X / ≅ = { [ x ] ∣ x ∈ X , [ x ] 是 x 的 等 价 类 } X/\cong = \{[x]|x\in X,[x]是x的等价类\} X/≅={[x]∣x∈X,[x]是x的等价类}.

自然映射

对于在A上的等价关系R,定义映射: g : A → A / R g:A\rightarrow A/R g:A→A/R为自然映射.

定理3.6.4 等价闭包

我们用 e ( R ) e(R) e(R)来表示X上包含R的等价关系的交.(这个证明没看懂)
e ( R ) = ( R ∪ R − 1 ) ∗ e(R) = (R\cup R^{-1})^* e(R)=(R∪R−1)∗

定理3.6.5 等价关系合成

如果 R , S R,S R,S都是等价关系,那么: R ∘ S R\circ S R∘S是等价关系 ⇔ R ∘ S = S ∘ R \Leftrightarrow R\circ S = S\circ R ⇔R∘S=S∘R.

证明思路:向左先 R − 1 = R R^{-1}=R R−1=R对称, R 2 ⊆ R R^2 \subseteq R R2⊆R传递.

定理3.6.5推论 等价关系合成

如果 R , S R,S R,S都是等价关系,那么: R ∘ S R\circ S R∘S是等价关系 ⇔ R ∘ S ⊆ S ∘ R \Leftrightarrow R\circ S \subseteq S\circ R ⇔R∘S⊆S∘R.

证明思路:只要证明 S ∘ R ⊆ R ∘ S S\circ R \subseteq R\circ S S∘R⊆R∘S即可.

定理3.6.6 等价关系合成与传递闭包

R , S 都 是 X 的 等 价 关 系 , 则 R ∘ S = ( R ∪ S ) + R,S都是X的等价关系,则\\ R\circ S = (R\cup S)^+ R,S都是X的等价关系,则R∘S=(R∪S)+

3.7 映射按等价关系的划分

定义3.7.1 映射的核

设 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y.在X上定义二元关系 E f E_f Ef​如下: ∀ a , b ∈ X , a E j b ⇔ f ( a ) = f ( b ) \forall a,b \in X,aE_jb \Leftrightarrow f(a) = f(b) ∀a,b∈X,aEj​b⇔f(a)=f(b).称 E f E_f Ef​为由f导出的关系.由定义可知:该关系自反,传递,对称,因此是一个等价关系.

由f导出的等价关系常叫做f的核.f的核常记作 K e r ( f ) Ker(f) Ker(f).其中X对 K e r ( f ) Ker(f) Ker(f)的商集可以表示为 X / K e r ( f ) = { f − 1 ( y ) ∣ y ∈ Y , f − 1 ( y ) ≠ ∅ } X/Ker(f)=\{f^{-1}(y)|y\in Y,f^{-1}(y) \neq \empty\} X/Ker(f)={f−1(y)∣y∈Y,f−1(y)​=∅}.

换句话说就是把 f f f对应的相等的所有元素构成集合,然后构成的集族.对应一个等价关系就叫f的核.

定理3.7.1 映射的分解

一个映射 f : X → Y f:X\rightarrow Y f:X→Y可以被分解为X到 X / K e r ( f ) X/Ker(f) X/Ker(f)的满射(自然映射) γ \gamma γ与 X / K e r ( f ) X/Ker(f) X/Ker(f)到Y的单射 f ˉ \bar f fˉ​的合成.换言之: f = f ˉ ∘ γ f = \bar f\circ \gamma f=fˉ​∘γ(特别注意,这里是映射合成不是关系合成).

推论3.7.1 满射条件

f ˉ \bar f fˉ​是一一对应当且仅当 f f f是满射

定理3.7.2 唯一性

定理3.7.1中的单射 f ˉ \bar f fˉ​是唯一的.

定义3.7.3 两个关系相容

设 f : X → Y , ≅ f:X\rightarrow Y,\cong f:X→Y,≅是X上的等价关系.如果 ∀ x , y ∈ X , x ≅ y ⇒ f ( x ) = f ( y ) \forall x,y \in X,x\cong y\Rightarrow f(x) = f(y) ∀x,y∈X,x≅y⇒f(x)=f(y),那么就说 f f f和 ≅ \cong ≅是相容的.

设 f : X → Y , ≅ f:X\rightarrow Y,\cong f:X→Y,≅是X上的等价关系,并且 f f f与 ≅ \cong ≅相容.定义一个 f ˉ : X / ≅ → Y . f ˉ ( [ a ] ) = f ( a ) \bar f:X/\cong \rightarrow Y.\bar f([a]) = f(a) fˉ​:X/≅→Y.fˉ​([a])=f(a). γ \gamma γ是X的自然映射,可知: f = f ˉ ∘ γ = f ˉ ( γ ( x ) ) f = \bar f \circ \gamma = \bar f(\gamma(x)) f=fˉ​∘γ=fˉ​(γ(x)).

但上述 f ˉ \bar f fˉ​不一定是单射.单射当且仅当 ≅ = K e r ( f ) \cong = Ker(f) ≅=Ker(f).

3.8 偏序关系与偏序集

定义3.8.1 偏序关系

R是X上的二元关系，R是偏序关系的条件为：

1. R是自反的
2. R是反对称的
3. R是传递的

常见的偏序关系有：小于等于，小于，拓扑图上的联通关系。常用 ≤ \leq ≤表示偏序关系,读作"小于等于".约定 x ≠ y , x ≤ y x\neq y,x \leq y x​=y,x≤y记作 x < y x<y x<y.同时我们表示其逆为 ≥ , > \geq,> ≥,>.

如果两个元素没有这个关系,那么称他们不可比较.否则称为可比较.

定义3.8.2 偏序集

设 ≤ \leq ≤是X上的偏序关系,则称二元组 ( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)为偏序集.可以认为是根据后面的偏序关系给X元素了一个"顺序".

定义3.8.3 全序关系与全序集

一个偏序关系 R R R被称为全序关系的条件为:

1. R R R是一个偏序关系
2. a R b , b R a aRb,bRa aRb,bRa至少有一个成立.

全序关系也被称为线序关系.常见的有:小于等于,大于等于,有向链.

X与全序关系R构成的二元组 ( X , R ) (X,R) (X,R)称为全序集.

需要注意的是,全序关系和偏序关系一个明显的不同就是全序关系任何两个元素都可比较,不会产生不可比较的元素对.

定义3.8.4(1) 盖住关系

设 ( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)是一个偏序集,我们称y盖住x当且仅当其满足下列条件:

1. x < y x<y x<y
2. ∀ z ∈ X , x ≤ z ≤ y ⇒ x = z 或 y = z \forall z \in X,x\leq z\leq y\Rightarrow x=z 或 y=z ∀z∈X,x≤z≤y⇒x=z或y=z

说人话:xRy成立,且中间插不进去.

如果y盖住x,记作 x ⊂ ∞ y x\overset{\infty}{\subset}y x⊂∞​y.y称为x的后继,x称为y的前驱.(相当于有向线段 ( x , y ) (x,y) (x,y))

定义3.8.4(2) Hasse哈斯图

哈斯图是用来描述偏序关系的一种图.我们假设有一个关系R是X上的偏序关系.画图规则如下:

1. 省去自环。由于都是自反的，因此不用画。
2. 只画前驱后继之间的边。由于是传递的，所以按前驱后继总能传到。
3. 后继画在上面，前驱画在下面。由于是反对称的，因此这样画好看且不用画有向线段（矢线）

实际上，这个图就是盖住关系的关系图。

子偏序集

设 ( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)是一个偏序集,把偏序关系限制在X的子集 A A A上得到了 ≤ A = ≤ ∩ A × A \leq_A = \leq \cap A\times A ≤A​=≤∩A×A.这时候 ( A , ≤ A ) (A,\leq_A) (A,≤A​)是一个偏序集,但是我们用 ( A , ≤ ) (A,\leq) (A,≤)来代替表示,此时 ≤ \leq ≤被理解为在A上的限制 ≤ A \leq_A ≤A​.

定义3.8.5 链与反链

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集, A ⊆ X A\subseteq X A⊆X.

1. ∀ a , b ∈ A , a ≤ b 或 b ≤ a \forall a,b \in A,a\leq b 或b\leq a ∀a,b∈A,a≤b或b≤a.A是X中的链.
2. ∀ a ≠ b ∈ A , a ≰ b 且 b ≰ a \forall a\neq b\in A,a\not \leq b 且 b \not \leq a ∀a​=b∈A,a​≤b且b​≤a,A是X中的反链.

∣ A ∣ |A| ∣A∣称为链的长度.

定义3.8.6 上界下界

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集, B ⊆ X , a ∈ X B\subseteq X,a\in X B⊆X,a∈X.

1. ∀ b ∈ B , b ≤ a \forall b \in B,b\leq a ∀b∈B,b≤a称 a a a为B的一个上界.
2. ∀ b ∈ B , a ≤ b \forall b \in B,a \leq b ∀b∈B,a≤b称 a a a为B的一个下界.

注意：上下界不一定存在，存在也不一定唯一，不一定在B中。

定义3.8.7 最大最小元素

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集， B ⊆ X , b ∈ B B\subseteq X,b\in B B⊆X,b∈B.

1. ∀ x ∈ B , x ≤ b \forall x\in B,x \leq b ∀x∈B,x≤b称 b b b为B的最大元素.
2. ∀ x ∈ B , b ≤ x \forall x\in B,b \leq x ∀x∈B,b≤x称 b b b为B的最小元素.

注意：最大最小元素不一定存在，若有则必唯一。

定义3.8.8 上确界、下确界

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集， B ⊆ X B\subseteq X B⊆X.

1. 上界的最小元素叫做上确界，记作 sup ⁡ B \sup B supB.
2. 下界的最大元素叫做下确界，记作 inf ⁡ B \inf B infB.

关于上述六个概念的个人理解

在原Hasse哈斯图上，上界一定是他们的公共祖先；下界一定是公共儿子。最大元素和最小元素则是限制下的哈斯图上的上下界；上确界，辈分最低的上界；下确界，辈分最高的下界。

定义3.8.9 极大元素、极小元素

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集， A ⊆ X , a ∈ A A\subseteq X,a\in A A⊆X,a∈A。

1. ∄ l ≠ a ∈ A , a ≤ l \not \exists l \neq a\in A,a\leq l ​∃l​=a∈A,a≤l称a为A的极大元素
2. ∄ l ≠ a ∈ A , l ≤ a \not \exists l \neq a\in A,l\leq a ​∃l​=a∈A,l≤a称a为A的极小元素

说人话就是，没有比它大就叫极大；没有比它小就叫极小。

注意：极大极小不一定唯一，也不一定是最大最小。最大最小一定是极大极小。

定理3.8.1 链转反链

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集，X的链长最大为n。则X的全部元素能被分成n个非空的不相交反链之并。（一定存在一种n-划分，使得每一个子集合都是反链）归纳法证明。

推论3.8.1 链长与集合大小关系

( X , ≤ ) (X,\leq) (X,≤)偏序集, ∣ X ∣ = n m + 1 |X|=nm+1 ∣X∣=nm+1.则X中或存在一个大于n的链,或存在一个大于m的反链.nm可以任意分解,无限制要求.反证法结合定理3.8.1即可.

定义3.8.10 拟序关系

X上的二元关系R称为拟序关系的条件是:

1. R是反自反的.也就是没有 x R x xRx xRx
2. R是传递的.
3. (可以推出它一定是反对称的)

常记作 < < <,读作"小于".常见例子 < , ⊂ <,\subset <,⊂.

与一个偏序关系有以下关系: ≤ = < ∪ I X 或 < = ≤ ∖ I X \leq = < \cup I_X 或 < = \leq \setminus I_X ≤=<∪IX​或<=≤∖IX​.

*3.9 良序集与数学归纳法

这个东西课本上都是打星号内容

[主要内容]

1. 全序集每个非空子集都有最小元素,则称为良序集.(无限集合可能就不是良序集,例如整数对小于等于)有限全序集一定是良序集.

2. 良序集任一子集都是良序集.

3. 非空良序集有唯一最小元素.且称为起始元素.

4. 任何一个集合都可以良序化.

5. 数学归纳法分简单归纳法原理和强归纳法原理.

6. 简单归纳法原理:

   1. 证 s ( 1 ) s(1) s(1)成立.
   2. 假设 s ( n ) s(n) s(n),证明 s ( n + 1 ) s(n+1) s(n+1)成立.

7. 强归纳法原理:

   1. 证 s ( 1 ) s(1) s(1)成立.
   2. 假设 s ( 1 ) , s ( 2 ) , … , s ( n ) s(1),s(2),\dots,s(n) s(1),s(2),…,s(n)成立,证 s ( n + 1 ) s(n+1) s(n+1)成立.

8. 简单归纳法原理与强归纳法原理等价.

9. 简单归纳法原理与自然数集 N \N N对小于等于关系构成的良序集等价.(离谱)

10. ( N , ≤ ) (\N,\leq) (N,≤)为良序集当且仅当 ( N , ≤ ) (\N,\leq) (N,≤)的任一有上界的子集 L L L有最大元素.

四、无穷集合及其基数

4.1 可数集

可数集与不可数集的概念是针对无穷集合的，有穷集合没有相关概念。
集 合 { 有 限 集 ， 有 穷 集 无 限 集 ， 无 穷 集 { 可 数 集 （ 无 穷 可 数 集 合 ， 可 列 集 ） 不 可 数 集 （ 不 可 数 无 限 集 ） 集合\begin{cases} 有限集，有穷集\\ 无限集，无穷集\begin{cases} 可数集（无穷可数集合，可列集）\\ 不可数集（不可数无限集） \end{cases} \end{cases} 集合⎩⎪⎨⎪⎧​有限集，有穷集无限集，无穷集{可数集（无穷可数集合，可列集）不可数集（不可数无限集）​​

定义4.1.1 可数集/不可数集

如果从自然数集 N \N N到集合X存在一个一一对应 f : N → X f:\N\rightarrow X f:N→X,则称集合X是无穷可数集合,简称可数集或可列集.如果X不是可数集,且X不是有限集,则称X为无穷不可数集,简称不可数集.

或者说,X是可数集当且仅当其存在映射 f : X → N , g : N → X f:X\rightarrow \N,g:\N \rightarrow X f:X→N,g:N→X.

定理4.1.1 可数集判定

集合A为可数集的充分必要条件为A的全部元素可以排成无重复项的序列
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , … , a n , … a_1,a_2,a_3,a_4,\dots,a_n,\dots a1​,a2​,a3​,a4​,…,an​,…
因此A可以写成 { a 1 , a 2 , a 3 , … , a n , … } \{a_1,a_2,a_3,\dots,a_n,\dots\} {a1​,a2​,a3​,…,an​,…}.

定理4.1.2 可数子集

无限集A必包含有可数子集.

定理4.1.3 可数集无限子集

可数集的任一无限子集也是可数集.

推论4.1.1 可数集减有限集

从可数集A中除去一个有限集M,则 A ∖ M A\setminus M A∖M仍是可数集.

定理4.1.4 可数集并有限集

设A是可数集,M是有限集,则 A ∪ M A\cup M A∪M是可数集.

定理4.1.5 有限个可数集的并

设 A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​是n个可数集,则 ⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^{n} A_i ⋃i=1n​Ai​也是可数集

定理4.1.6 可数无穷多有限集并

可数无穷多个有限集的并至多是可数集.

定理4.1.7 可数无穷多可数集并

可数无穷多个可数集的并是可数集.其中构造方法为反对角线法.

定理4.1.8 有理数集

有理数集 Q Q Q是可数集.[ a b a\over b ba​,两个都是可数集]

推论4.1.2 区间有理数

区间[0,1]之间的一切有理数之集是可数集.

定理4.1.9 无限集并

M是一个无限集,A是可数集或有限集,则 M ∼ M ∪ A M\sim M\cup A M∼M∪A.[证明思路:取M一个可数集 D D D,然后 D ∪ A ∼ D D\cup A \sim D D∪A∼D,剩余部分对等.]

定理4.1.10 无穷集减至多可数集

M无穷不可数集,A是M的至多可数子集.则 M ∼ M ∖ A M\sim M\setminus A M∼M∖A.[证明思路: ( M ∖ A ) ∼ ( M ∖ A ) ∪ A (M\setminus A)\sim (M\setminus A) \cup A (M∖A)∼(M∖A)∪A.]

定义4.1.2 无穷集合,无限集合定义

凡是能与自身的一个真子集对等的集合称为无穷集合,或无限集合.

定理4.1.11 有限个可数集的笛卡尔积

设 A 1 , A 2 , A 3 , … , A n A_1,A_2,A_3,\dots,A_n A1​,A2​,A3​,…,An​是可数集,则其笛卡尔乘积 A 1 × A 2 × A 3 × ⋯ × A n A_1\times A_2 \times A_3 \times \cdots \times A_n A1​×A2​×A3​×⋯×An​是可数集.证明方法:归纳法.

推论4.1.3 代数多项式

整系数代数多项式的全体是一个可数集

定义4.1.3 代数数

整系数代数多项式的根称为代数数.非代数数称为超越数.由于每个多项式仅有有限个根,故代数数集市可数集.

定理4.1.12 代数数全体

代数数的全体是一个可数集.

4.2 连续统集

这一节主要讨论不可数集
集 合 { 有 限 集 ， 有 穷 集 无 限 集 ， 无 穷 集 { 可 数 集 （ 无 穷 可 数 集 合 ， 可 列 集 ） ⭐ 不 可 数 集 （ 不 可 数 无 限 集 ） 集合\begin{cases} 有限集，有穷集\\ 无限集，无穷集\begin{cases} 可数集（无穷可数集合，可列集）\\ ⭐不可数集（不可数无限集） \end{cases} \end{cases} 集合⎩⎪⎨⎪⎧​有限集，有穷集无限集，无穷集{可数集（无穷可数集合，可列集）⭐不可数集（不可数无限集）​​

定理4.2.1 [0,1]实数集是不可数集

区间[0,1]所有实数构成集合是不可数无穷集合.这个证明方法叫康托的对角线法!

证明:

• 区间中每个实数都可以写成十进制无限位小数形式,即 0. a 1 a 2 … 0.a_1a_2\dots 0.a1​a2​…其中每个 a i a_i ai​都是[0,9]之间的数字.约定每个有限位小数后补无限个0,这样每个小数就有唯一的表示形式.

• 假设定理4.2.1不成立.那么全体实数就是可数集.然后我们把每个 a i a_i ai​排列称为一个序列 { a 1 , a 2 , a 3 , … } \{a_1,a_2,a_3,\dots\} {a1​,a2​,a3​,…}.然后对于所有可数多个小数 A A A可以写成:
  A 1 = 0. a 11 a 12 a 13 … A 2 = 0. a 21 a 22 a 23 … ⋮ A n = 0. a n 1 a n 2 a n 3 … ⋮ A_1 = 0.a_{11}a_{12}a_{13}\dots\\ A_2 = 0.a_{21}a_{22}a_{23}\dots\\ \vdots\\ A_n = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\dots\\ \vdots A1​=0.a11​a12​a13​…A2​=0.a21​a22​a23​…⋮An​=0.an1​an2​an3​…⋮

• 我们构造一个新的数字 B B B,它的每一位 B = 0. b 1 b 2 b 3 ⋯ n B = 0.b_1b_2b_3\dotsb_n B=0.b1​b2​b3​⋯n​确定规则如下:
  b n = { 2 , 若 a n n = 1 1 , 若 a n n ≠ 1 , n ∈ N . [ a n n 就 是 A n 的 第 n 位 数 字 ] b_n = \begin{cases} 2,若a_{nn} = 1\\ 1,若a_{nn} \neq 1\\ \end{cases} ,n\in\N.[a_{nn}就是A_n的第n位数字] bn​={2,若ann​=11,若ann​​=1​,n∈N.[ann​就是An​的第n位数字]
  通俗点理解就是跟第一个数第一位不同,第二个数第二位不同…

• 于是这个 B B B一定是[0,1]的实数,但不在现在的序列里.与之前的假设矛盾.故[0,1]实数集不是可数集.其又不是有限集,故它是无限不可数集.

定义4.2.1 连续统

凡是与[0,1]对等的集称为具有"连续统的势"的集,或简称连续统.

定理4.2.2 有限个连续统的并

有限个两两不相交连续统的并是一个连续统.即 ∪ i = 1 n A i ∼ [ 0 , 1 ] \cup_{i=1}^{n} A_i \sim [0,1] ∪i=1n​Ai​∼[0,1].

定理4.2.3 无穷多连续统的并

无穷多个两两不相交连续统的并是连续统. ∪ i = 1 ∞ A i ∼ [ 0 , 1 ] \cup_{i=1}^{\infty} A_i \sim [0,1] ∪i=1∞​Ai​∼[0,1].

推论4.2.1 实数集-连续统

全体实数集是一个连续统.

推论4.2.2 无理数集-连续统

全体无理数之集是一个连续统

推论4.2.3 超越数集-连续统

超越数之集是一个连续统

上述的证明需要延伸到二进制小数表示上.

定理4.2.4 无穷01序列

令B位0/1的无穷序列所构成的集合,则 B ∼ [ 0 , 1 ] B\sim [0,1] B∼[0,1].

定理4.2.5 N的特征函数

令 S = { f ∣ f : N → { 0 , 1 } } S=\{f|f:\N \rightarrow \{0,1\}\} S={f∣f:N→{0,1}}则 S ∼ [ 0 , 1 ] S\sim [0,1] S∼[0,1].于是,若A位可数集, 2 A ∼ [ 0 , 1 ] 2^A \sim [0,1] 2A∼[0,1].证明: C h ( A ) ∼ 2 A Ch(A) \sim 2^A Ch(A)∼2A.

定理4.2.6 正整数无穷序列集

正整数无穷序列之集与区间[0,1]对等.

定理4.2.7 连续统的笛卡尔积

设 A 1 , A 2 A_1,A_2 A1​,A2​为连续统,则 A 1 × A 2 ∼ [ 0 , 1 ] A_1 \times A_2 \sim [0,1] A1​×A2​∼[0,1].构造方法:二进制小数交错排列.

推论4.2.1 平面点集

平面点集是一个连续统.

定理4.2.8 有限多连续统的笛卡尔积

A 1 , A 2 , … , A n A_1,A_2,\dots,A_n A1​,A2​,…,An​是连续统,则 A 1 × A 2 × ⋯ × A n ∼ [ 0 , 1 ] A_1 \times A_2 \times \dots \times A_n \sim [0,1] A1​×A2​×⋯×An​∼[0,1].

定理4.2.9 无穷不可数个连续统笛卡尔积

设 I ∼ [ 0 , 1 ] , ∀ l ∈ I , A l ∼ [ 0 , 1 ] I\sim [0,1],\forall l \in I,A_l \sim [0,1] I∼[0,1],∀l∈I,Al​∼[0,1]可得: ∪ A l ∼ [ 0 , 1 ] \cup A_l \sim [0,1] ∪Al​∼[0,1].

4.3 基数及其比较

基数的建立是在解决以下两个任务的基础上产生的

1. 推广有穷集合的元素个数的概念,使它对无穷集合也有精确的含义.也就是无穷集合基数的概念.
2. 确定比较两个基数大小的规则

数数的过程实际上是一个一一对应的过程,我们常讲的3个,也就是对应{1,2,3}与实际物体集的对应关系.

定义4.3.1 集合的基数

集合A的基数是一个符号,凡是与A对等的集合都赋以同一个记号.集合A的基数记作|A|.

定义4.3.1’ 集合的基数-集族定义形式

所有与集合A对等的集构成的集族称为集合A的基数.
公理化集合论中,集合的基数被认为一种特殊的良序集,即等价于已知集的最小序数.

集合的基数,也称为"势",“浓度”,用 A = , card A , ∣ A ∣ {\overset{=}A},\text{card} A,|A| A=,cardA,∣A∣来表示.

定义4.3.2 基数相等

集合A的基数与集合B的基数被认为是相等的,当且仅当 A ∼ B A\sim B A∼B,A与B一一对应.

定义4.3.3 大小关系

α , β \alpha,\beta α,β是两个基数,A,B分别是以它们为基数的集,如果A与B的一个真子集对等,但A却不能与B对等,则称基数 α \alpha α小于基数 β \beta β,记作 α < β \alpha < \beta α<β.

我们规定, α ≤ β ⇔ α < β 或 α = β \alpha \leq \beta \Leftrightarrow \alpha < \beta 或 \alpha = \beta α≤β⇔α<β或α=β.大于/大于等于反向定义.

显然:

1. α ≤ β \alpha \leq \beta α≤β当且仅当存在单射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B.
2. α < β \alpha < \beta α<β当且仅当存在单射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B但不存在A到B的双射

无穷集合的基数被称作是超穷数.也可以进行比较大小.

康托的连续统假设:
a是N的基数,c是[0,1]的基数,问题:“有没有这样一个基数b使得a<b<c”?
康托的假设:没有
目前的研究结果:连续统假设与集合论的公理不矛盾,但这个假设到现在没有证明.

定理4.3.1 (康托)定理

对任一集合 M M M, ∣ M ∣ < ∣ 2 M ∣ |M| < |2^M| ∣M∣<∣2M∣.构造法证明.

4.4 康托-伯恩斯坦定理

这个定理说明的内容是:基数确实可以进行唯一的比较.

定理4.4.1 康托-伯恩斯坦定理

设A,B两个集合.如果存在一个单射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B与单射 g : B → A g:B\rightarrow A g:B→A,则A与B对等.

推论4.4.1 不动点

设 f : A → B , g : B → A f:A\rightarrow B,g:B\rightarrow A f:A→B,g:B→A都是单射.令 ϕ : 2 A → 2 B , ∀ E ∈ 2 A \phi : 2^A \rightarrow 2^B,\forall E \in 2^A ϕ:2A→2B,∀E∈2A, ϕ ( E ) = A ∖ g ( B ∖ f ( E ) ) \phi(E) = A\setminus g(B\setminus f(E)) ϕ(E)=A∖g(B∖f(E)),则 ϕ \phi ϕ在 2 A 2^A 2A中存在一个不动点 D ∈ 2 A D\in 2^A D∈2A,满足 ϕ ( D ) = D \phi(D) = D ϕ(D)=D.

换种方式:
ϕ ( E ) = A ∖ g ( B ∖ f ( E ) ) = E E ∪ g ( B ∖ f ( E ) ) = A , E ∩ g ( B ∖ f ( E ) ) = ∅ g ( B ∖ f ( E ) ) = A ∖ E \phi(E) = A\setminus g(B\setminus f(E)) = E\\ E \cup g(B\setminus f(E)) = A,E\cap g(B\setminus f(E)) = \empty\\ g(B\setminus f(E)) = A\setminus E ϕ(E)=A∖g(B∖f(E))=EE∪g(B∖f(E))=A,E∩g(B∖f(E))=∅g(B∖f(E))=A∖E
也就是说,除去 f ( E ) f(E) f(E)的部分用 g g g对应回来刚好是除去E的部分.

推论4.4.2 比较-两个关系不能同时成立

设 α , β \alpha,\beta α,β是两个基数,则 α = β , α < β , α > β \alpha = \beta, \alpha < \beta , \alpha > \beta α=β,α<β,α>β中任何两个式子不能同时成立.这里需要说明的是,这推论没说一定有一个成立.

推论4.4.3 两边夹

如果 A 1 ⊆ A 2 ⊆ A A_1\subseteq A_2 \subseteq A A1​⊆A2​⊆A,且 A 1 ∼ A A_1 \sim A A1​∼A,则 A 2 ∼ A A_2 \sim A A2​∼A.证明过程,利用基数相等+基数比较关系.

推论4.4.4 传递关系

设 α , β , γ \alpha,\beta,\gamma α,β,γ是三个基数,如果 α ≤ β , β ≤ γ \alpha \leq \beta,\beta \leq \gamma α≤β,β≤γ,则可以推出 α ≤ γ \alpha \leq \gamma α≤γ.

定理4.4.2 策梅罗-基数可比较定理

设 α , β \alpha,\beta α,β是两个基数,则以下三个式子恰好有一个成立.
α < β , α > β , α = β \alpha < \beta,\alpha > \beta,\alpha = \beta α<β,α>β,α=β

定义4.4.1 基数的加法

设 α , β \alpha,\beta α,β两个基数, A , B A,B A,B以它俩为基数的两个不相交集合,则 ∣ A ∪ B ∣ = γ |A\cup B|=\gamma ∣A∪B∣=γ称为基数 α , β \alpha,\beta α,β的和,并记作 α + β \alpha+\beta α+β.

定义4.4.2 基数的积

设 α , β \alpha,\beta α,β两个基数, A , B A,B A,B以它俩为基数的两个不相交集合,则 A × B A\times B A×B的基数 γ \gamma γ称为 α , β \alpha,\beta α,β的积,记作 α ⋅ β \alpha \cdot \beta α⋅β或者 α β \alpha\beta αβ.

定义4.4.3 基数的幂

设 α , β \alpha,\beta α,β两个基数(不可同时为0), A , B A,B A,B以它俩为基数的两个不相交集合,则 B A = { f ∣ f : A → B } B^A = \{f|f:A\rightarrow B\} BA={f∣f:A→B}的基数 γ \gamma γ称为 β 的 α \beta 的 \alpha β的α次幂,记作 β α \beta^\alpha βα. β 0 = 1 , 0 α = 0 , 0 0 无 意 义 \beta^0 = 1,0^\alpha = 0,0^0无意义 β0=1,0α=0,00无意义.

定理4.4.2 可数集基数与连续统基数

设a为可数集基数,c为连续统基数.对应之前的性质.

1. ∀ n ∈ N ∪ { 0 } , n + a = a \forall n\in\N \cup \{0\},n+a = a ∀n∈N∪{0},n+a=a
2. ∀ n ∈ N , n ⋅ a = a \forall n \in \N,n\cdot a = a ∀n∈N,n⋅a=a
3. ∀ n i ∈ N , ∑ n i ≤ a \forall n_i \in \N,\sum n_i \leq a ∀ni​∈N,∑ni​≤a
4. ∀ n ∈ N , n ⋅ c = c \forall n \in \N,n\cdot c = c ∀n∈N,n⋅c=c
5. a ⋅ c = c a\cdot c = c a⋅c=c
6. c ⋅ c = c c\cdot c = c c⋅c=c
7. 2 a = c 2^a = c 2a=c
8. ( 2 a ) a = 2 a (2^a)^a = 2^a (2a)a=2a
9. a a = 2 a a^a = 2^a aa=2a
10. ∀ n ∈ N , a n = a \forall n \in \N,a^n = a ∀n∈N,an=a

定理4.4.3 满足的结合计算规律

a,b,c都是任意基数.

1. 基数加法和乘法分别满足交换律

   a + b = b + a , a b = b a a+b = b+a,ab = ba a+b=b+a,ab=ba

2. 基数的加法和乘法分别满足结合律

   ( a + b ) + c = a + ( b + c ) , ( a b ) c = a ( b c ) (a+b)+c = a+(b+c),(ab)c = a(bc) (a+b)+c=a+(b+c),(ab)c=a(bc)

3. 基数的乘法对加法满足分配律

   a ( b + c ) = a b + a c a(b+c) = ab + ac a(b+c)=ab+ac

4. 幂运算指数性质成立

   1. a b + c = a b a c a^{b+c} = a^b a^c ab+c=abac
   2. ( a b ) c = a b c (a^b)^c = a^{bc} (ab)c=abc
   3. ( a b ) c = a c b c (ab)^c = a^cb^c (ab)c=acbc

可以看到基本都满足普通非负整数计算规则,但对于无穷基数的计算还要小心,例如它没有减法,这种.

*4.5 悖论、公理化集合论介绍

[选择性放弃更新这一节]

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