集合论在图论中的应用的约束描述

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关于描述，包含 $\forall \exists$ ,

$\forall$ ,表示任意。

$\exists$ ，表示存在。但不代表唯一存在。

$\wedge$ ,逻辑与，也即符号左右两边需要均逻辑成立

$\vee$ ，逻辑或，也即符号左右两边至少一个成立

(,)，二元关系，简称关联。(a,b），表示a,b必须同时存在。且描述的含义是a,b共同的关联信息，而不是具体的a,b ,称a,b为该关联的项。即便是图G(E,V)，也表示图是个二元关系，E集合和V集合的关联。如果不满足该关联的，则认为不是个图。例如通常的图定义，要求，E的所有元素e（本身是个二元关系），e的项必须是V集合中的元素。那么这个约束就是(E,V)的关联。

关于集合部分

{ } 表示一个集合。要求集合内没有相同元素。

$\phi$ 除特指，均属于任意集合。如果一个集合为空，则等同描述这个集合不存在，或者获得这个集合动作无效，如果这个动作是判定动作，比如判定一个图是否是连通，得到一个空集，则认为该图不存在任何连通子图。

集合的基本操作仅有 $\in \cap \cup \subset \ni = \neq$ 也即:

$\in$ 属于，元素和集合的关系

$=$ 严格一致。这里并不想说等于。我坚持集合论的观点，任何元素也是集合。只不过是特殊的集合。因此元素的=，表示元素严格一致。由于元素在观测空间是唯一的。所以此时可以理解为相同。

$\neq$ 不一致。但不代表严格不一致。差异在于，不一致表示至少有个差异。严格不一致参考下面的讨论，当然对元素由于不可细分，也就没有意义。

||，取模操作。这是一个非常特殊的操作。表示集合内的非空元素的个数。

以上四个是最基本操作，以下是可由上述推导出来的基本操作。

$\cap$ ：交操作。 $A\cap B =C \Leftrightarrow \forall c \in C c \in B c \Rightarrow \in A,\forall x \in A X\in B x \Rightarrow \in C$

文字描述是，A集合交操作B集合等于C集合。则为任意C集合的元素，必然同时在A，B中，任意同时在A，B中的元素必然同时在C中。

$\cup$ ：并操作。 $A\cap B =C \Leftrightarrow \forall a \in A \Rightarrow a \in C ,\forall b \in B \Rightarrow b \in C$

$\subset$ ：属于。 $A\subset B \Leftrightarrow \forall a \in A \Rightarrow a \in B$ ;其实我个人觉得用“被包裹”这个名词更恰当。

这里并不考虑子集，真子集的差异。 $\subseteq$ ,我认为是没有存在的意义的。他的存在，具备歧义。你究竟是在讨论属于还是等于。完全是两个不同的含义。属于强调B包裹A，等于强调两个集合是否严格一致。

$\ni$ ：不属于 $a\ni B \Leftrightarrow \forall b \in B b \neq a$ ，很显然从 $\phi$ 的约束来看，这个符号对 $\phi$ 是没有意义的。

$A\cap B = \phi$ ：严格不一致。和 $\neq$ 有很大差别。

除了上述操作外，还有衍生的基本操作，如下：

补集， $A=\bar{B(C)} \Leftrightarrow A \cap B = \phi A\cup B = C$ A是B针对C的补,表示A，B的交为空，并为C。如果在没有明确出C的时候，则默认是观测空间，或上下文默认的描述空间。

谓词动作， $name(...,A)=$ ,name 表示是一个动作，对A集合的动作，同时输出即等号后面，需要和A的类型相同。例如con(G)=G',表示，对G进行取连通子图的操作，G‘也必须是个图。其实原则上，我个人想对()和二元关系进行区分。从写工程的角度，谓词后面的操作信息和操作对象，应该使用()更妥当，这样符合函数的方式。但从理论上，很多理论描述对二元操作都使用()，所以让我很为难。因此暂时也是()来表示。但区分条件是，如果()前面存在名词，含小写的，一定是谓词动作，而不是二元关系。集合一定大写，因此G(E,V)，表示是一个集合G，其是二元关系。

唯一性，唯一性存在的意义在于，简化描述。例如我们一个谓词，包含一定的条件。唯一性的意思是，所以满足条件的，都在该集合。而该集合的所有元素均符合条件。之所以称为唯一性。意思是，这样的集合有且仅有一个。

标记，标记是个动作。例如一个圈图，就是任意顶点的度为2的连通图，那么标记，例如顺时针，逆时针，对顶点或边进行序号。不过需要注意，标记本身不影响图或集合任何自身的关联性质。只是作为区分差异。也不具备可序性。标记是为了讨论问题而额外多出的动作。

转载于:https://my.oschina.net/luckystar/blog/58003

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