斐波那契数列

指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递推的方法定义：F(1)=1，F(2)=1, F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3，n∈N*)。

1.题目

1.1.求斐波那契数列的第n项的值

2.2.求斐波那契数列前n项的和

2.例子

2.1.求第n项的值

输入：6

输出：8

2.2.求前n项的和

输入：6

输出：20

3.解析

3.1.求第n项的值

3.1.1找出斐波那契数列的规律，用不断的递归解决，但递归的时间复杂度为O(2^n)。

3.1.2另一种方式是自底向上求解，从1，2推导3。再从2，3推导出4。也就是说，我们想要求第n项的值的话，只需要知道n-1和n-2的值就可以了，而不需要像递归那样所有的值都求出来。

3.2.求前n项的和

3.2.1在递归的基础上，再加一个sum存储前n项的和

3.2.2求前n项的和我们可以推导出一条公式：Sn = A(n+2) - 1。我们可以直接用求第n项的值的方法来求出A(n+2) - 1，就可以得出前n项的和了。

这个公式是怎么得到的呢？很简单。

求和：Sn=a1+a2+a3+……+An

Sn也可以写成Sn=1+a1+a2+a3+……+An-1

因为a2等于1，所以Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1

即：Sn=a2+a1+a2+a3+……+An-1

Sn=a3+a2+a3+……+An-1

Sn=a4+a3+……+An-1……

Sn=An+A(n-1)+An-1

即：Sn=A(n+1)+An-1=A(n+2)-1

4.递归求法，时间复杂度O(2^n)

4.1.求第n项的值

public static int f(int n) throws Exception {

if(n==0){

throw new Exception("参数错误！");

}

if (n == 1 || n == 2) {

return 1;

} else {

return f(n-1)+f(n-2);//自己调用自己

}

}

4.2.求前n项和

public static int FibonacciSum(int n) {

int sum = 0;

for(int i=1;i<=n;i++) {

sum += Fibonacci(i);  //累加前n项

}

return sum;

}

5.非递归求法，时间复杂度O(n)

5.1.求第n项的值

private int fibonacci(int n){

int f1 = 1;

int f2 = 1;

int prePreFib = f1;

int preFib = f2;

int fib = 0;

int flag = 2;

if (n == 1 || n == 2){

return f1;

}

if (n >= 3){

while (flag < n){

fib = preFib + prePreFib;

prePreFib = preFib;

preFib = fib;

flag++;

}

}

return fib;

}

5.2.求前n项和

private int fibonacciSum(int n){

return fibonacci(n+2) - 1;

}

扩展：

题目要求：编写程序在控制台输出斐波那契数列前20项，每输出5个数换行

斐波那契数列指的是这样一个数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。

这道兔子题的实质就是斐波那契数列： 有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少?，现在从变量、数组、递归三个角度出发解决这个puzzle,当然还有其它的方法，同一道题用各种不同的思路去思考解决，也是对知识综合运用的锻炼吧。

关于斐波那契数列的优化 https://blog.csdn.net/dadai_/article/details/50209511