matlab随机线性微分方程,基于MATLAB的随机线性微分方程的求解

2011 年 3 月第 25 卷第 1 期阴山学刊 YINSHAN ACADEMIC JOURNAL Mar． 2011 Vo1． 25 No． 1 基于 MATLAB 的随机线性微分方程的求解* 云文在 ( 包头师范学院数学科学学院，内蒙古包头 014030) 摘要: 给出连续线性系统离散化形式的解的算法及 MATLAB 实现，举例进行仿真，并得出随机输入系统的响应曲线。关键词: 随机线性连续状态方程; 离散化; MATLAB; 仿真中图分类号: O175 文献标识码: A 文章编号:1004 －1869( 2011) 01 －0011 －03 1 假设随机线性连续状态方程模型为  x( t) = Ax( t) + B［d( t) + γ( t) ］，y( t) = Cx( t) 式中 A，B，C 为兼容矩阵，d( t) 为确定性输入向量，γ ( t) 为 Gauss 白噪声向量，满足 E［γ( t) ］=0，E［γ( t) γT( t) ］= Vσδ( t －－ ι ) ，定义一个变量 γc( t) = Bγ( t) ，则可以证明 γc( t) 亦为 Gauss 白噪声向量，且满足 E［γc( t) ］=0，E［γc( t) γc T( t) ］= Vcδ( t －－ ι ) ，其中 Vc = BVcBT 是一个协方差矩阵。此时状态方程模型可改写为:  x( t) = Ax( t) + Bd( t) + γc( t) ，y( t) = Cx( t) 2 连续状态方程的离散化假设，t 0 = kΔt，t = ( k + 1) Δt 其中 Δt 为计算步长，并假设在一个计算步长之内确定性输入信号 d ( t) 为一个常数，即，如 Δt≤t≤( k + t) Δt 时有 d( t) = d( kΔt) ，则连续状态方程的离散形式可写成: x［( k + 1) Δt］ = Fx ( kΔt) + Gd ( kΔt) + γd ( kΔt) ，y( kΔt) = Cx( kΔt) 式中 F = eAΔt，G = ∫ Δt 0 eA( Δt －－ ι ) Bd － ι ，且 γd( kΔt) = ∫ ( k +1) Δt kΔt eA［( k +1) Δt －－ ι］γc( t) d － ι = ∫ Δt 0 eAtγc［( k +1) Δt －－ ι ］d － ι 可见矩阵 F，G 和确定性系统的离散化形式是一样的。但可以看出，若系统含有随机输入时，系统的离散化形式与传统形式是不同的。可以证明 γd( t) 也是 Gauss 白噪声向量，且满足 E［γd( t) ( kΔt) ］=0， E［γd( t) ( kΔt) γT d( t) ( jΔt) ］= Vδkj，式中 V = ∫ Δt 0 eAtVceATtdt。 3 离散化状态方程形式的解利用 Taylor 幂级数展式得: V = ∫ Δt 0 ∑ ∞ k =0 Rk( 0) k! tkdt∑ ∞ k =0 Vk 其中 RK( 0) 与 Vk 可以由下式递推求出: Rk( 0) = ARk －1( 0) + Rk －1( 0) AT Vk = Δt k +1 ( AVk －1 + Vk －1AT{ ) 递推初值为 R0( 0) = R( 0) = Vc，V0 = VcΔt。由奇异值分解理论，可以将矩阵 V 写成 V = UΓUT，其中 U 为正交矩阵，Γ 为含有非零对角元素的对角矩阵，这样就可以得出 Cholesky 分解 V = DDT

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