MCS：连续随机变量—

Beta分布

Beta分布有两个参数(k1,k2)，k1>0，k2>0(k_1,k_2)，k_1 > 0，k_2 > 0(k1,k2)，k1>0，k2>0，变量记为x，a<=x<=bx，a <= x <= bx，a<=x<=b，a,ba,ba,b为变量的范围。

标准Beta分布

标准的Beta分布跟Beat分布一样有两个参数(k1,k2)(k_1,k_2)(k1,k2)，区别是标准Beta分布值得范围(0,1)。标准的Beta变量记为:x′x'x′。

x′x'x′跟xxx的关系:
x′=x−ab−ax' = \frac{x - a}{b - a}x′=b−ax−a

x=a+x′(b−a)x = a + x'(b - a)x=a+x′(b−a)

标准Beta分布概率密度函数为:
f(x′)=x′k1−1(1−x′)k2−1B(k1,k2)，0<=x′<=1f(x') = \frac{x'^{k_1 - 1}(1-x')^{k_2 - 1}}{B(k_1, k_2)}，0 <= x' <= 1f(x′)=B(k1,k2)x′k1−1(1−x′)k2−1，0<=x′<=1

B(k1,k2)B(k_1, k_2)B(k1,k2) : Bate function
B(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1dtB(a, b) = \int_0^1 t^{a-1}(1 - t)^{b-1} dtB(a,b)=∫01ta−1(1−t)b−1dt

x′x'x′的期望和方差:
E(x′)=k1k1+k2E(x') = \frac{k_1}{k_1 + k_2}E(x′)=k1+k2k1

V(x′)=k1k2(k1+k2)2(k1+k2+1)V(x') = \frac{k_1k_2}{(k_1 + k_2)^2(k_1 + k_2 + 1)}V(x′)=(k1+k2)2(k1+k2+1)k1k2

xxx的期望和方差:
E(x)=a+E(x′)(b−a)E(x) = a + E(x')(b - a)E(x)=a+E(x′)(b−a)

V(x)=(b−a)2V(x′)V(x) = (b - a)^2V(x')V(x)=(b−a)2V(x′)

x′~\tilde{x'}x′~:标准Beta变量的mode:
x′~=k1−1k1+k2−2，k1>1,k2>1，0<=x′~<=1\tilde{x'} = \frac{k_1 - 1}{k_1 + k_2 - 2}，k_1 > 1, k_2 > 1，0 <= \tilde{x'} <= 1x′~=k1+k2−2k1−1，k1>1,k2>1，0<=x′~<=1

x~\tilde{x}x~:Beta变量的mode:
x~=a+x′~(b−a)\tilde{x} = a + \tilde{x'}(b - a)x~=a+x′~(b−a)

标准Beat分布和参数之间的关系:

k1<1，k2>=1k_1 < 1 ， k_2 >= 1k1<1，k2>=1:x′~∼0\tilde{x'} \sim 0x′~∼0，Positive Skew。
k1>=1，k2<1k_1 >= 1 ， k_2 < 1k1>=1，k2<1:x′~∼1\tilde{x'} \sim 1x′~∼1, Negative Skew。
k1=1，k2>1k_1 = 1 ， k_2 > 1k1=1，k2>1:密度从0到1递减。
k1>1，k2=1k_1 > 1 ， k_2 = 1k1>1，k2=1:密度从0到1递增。
k1<1，k2<1k_1 < 1 ， k_2 < 1k1<1，k2<1:密度两边高，k2>>k1k_2 >> k_1k2>>k1:Positive Skew,k1>>k2k_1 >> k_2k1>>k2:Negative Skew。
k1>1，k2>1，k1>k2k_1 > 1 ， k_2 > 1 ， k_1 > k_2k1>1，k2>1，k1>k2:略微左偏。
k1>1，k2>1，k2>k1k_1 > 1 ， k_2 > 1 ， k_2 > k_1k1>1，k2>1，k2>k1:略微右偏。
k1>1，k2>1，k1=k2k_1 > 1 ， k_2 > 1 ， k_1 = k_2k1>1，k2>1，k1=k2:近似正态。
k1=k2=1k_1 = k_2 = 1k1=k2=1:0∼10\sim10∼1之间均匀分布。

生成(a,b)(a,b)(a,b)区间内的Beta变量：

Generate two random Gamma variate : g1=Gamma(k1,θ1)和g2=Gamma(k2,θ2)，θ1=θ2=1g_1 = Gamma(k_1, \theta_1)和g_2 = Gamma(k_2, \theta_2)，\theta_1 = \theta_2 = 1g1=Gamma(k1,θ1)和g2=Gamma(k2,θ2)，θ1=θ2=1.
x′=g1g1+g2x' = \frac{g_1}{g_1 + g_2}x′=g1+g2g1.
x=a+x′(b−a)x = a + x'(b - a)x=a+x′(b−a).
Return xxx.

Python模拟生成标准的Bate随机变量:

import numpy as np
import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_exponential_var(theta):u = np.random.uniform(0, 1)var = -1/theta*np.log(1 - u)return vardef generate_erlang_var(k=1, theta=1):if k == 1:var = generate_exponential_var(theta)else:var = 0for j in range(k):var += generate_exponential_var(theta)return vardef generate_gamma_var(k, theta):if k == 1:var = generate_erlang_var(k=1, theta=theta)return varelif k < 1:b = (np.e + k)/np.ewhile True:u1 = np.random.uniform(0, 1)u2 = np.random.uniform(0, 1)p = b*u1if p > 1:y = -np.log((b-p)/k)if u2 <= np.power(y, k-1):x_ = ybreakelse:continueelse:y = np.power(p, 1/k)if u2 <= np.power(np.e, -y):x_ = ybreakelse:continueelif k > 1:a = 1/np.sqrt(2*k - 1)b = k - np.log(4)q = k + 1/ac = 4.5d = 1 + np.log(4.5)while True:u1 = np.random.uniform(0, 1)u2 = np.random.uniform(0, 1)v = a * np.log(u1/(1 - u1))y = k * np.power(np.e, v)z = np.power(u1, 2)*u2w = b + q*v -yif (w + d - c*z) >= 0:x_ = ybreakelse:if w >= np.log(z):x_ = ybreakelse:continuevar = x_/thetareturn var

def generate_bate_var(k1, k2):gamma_1 = generate_gamma_var(k1, theta=1.)gamma_2 = generate_gamma_var(k2, theta=1.)var = gamma_1/(gamma_1 + gamma_2)return var

k1<1，k2>=1：θ1=θ2=1，k1=0.5，k2=1.0，a=0，b=1k_1 < 1，k_2 >= 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，k_1 = 0.5，k_2 = 1.0，a = 0，b = 1k1<1，k2>=1：θ1=θ2=1，k1=0.5，k2=1.0，a=0，b=1

k1>=1，k2<1：θ1=θ2=1，k1=1.0，k2=0.5，a=0，b=1k_1 >= 1，k_2 < 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，k_1 = 1.0，k_2 = 0.5，a = 0，b = 1k1>=1，k2<1：θ1=θ2=1，k1=1.0，k2=0.5，a=0，b=1

k1=1，k2>1：θ1=θ2=1，k1=1.0，k2=1.5，a=0，b=1k_1 = 1，k_2 > 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，k_1 = 1.0，k_2 = 1.5，a = 0，b = 1k1=1，k2>1：θ1=θ2=1，k1=1.0，k2=1.5，a=0，b=1

k1>1，k2=1：θ1=θ2=1，k1=1.5，k2=1.0，a=0，b=1k_1 > 1，k_2 = 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，k_1 = 1.5，k_2 = 1.0，a = 0，b = 1k1>1，k2=1：θ1=θ2=1，k1=1.5，k2=1.0，a=0，b=1

k1<1，k2<1：θ1=θ2=1，a=0，b=1k_1 < 1，k_2 < 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，a = 0，b = 1k1<1，k2<1：θ1=θ2=1，a=0，b=1

k1=0.3，k2=0.5k_1 = 0.3，k_2 = 0.5k1=0.3，k2=0.5
k1=0.5，k2=0.3k_1 = 0.5，k_2 = 0.3k1=0.5，k2=0.3
k1=0.5，k2=0.5k_1 = 0.5，k_2 = 0.5k1=0.5，k2=0.5

k1>1，k2>1：θ1=θ2=1，a=0，b=1k_1 > 1，k_2 > 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，a = 0，b = 1k1>1，k2>1：θ1=θ2=1，a=0，b=1

k1>k2，k1=7，k2=3k_1 > k_2，k_1 = 7，k_2 = 3k1>k2，k1=7，k2=3
k1<k2，k1=3，k2=7k_1 < k_2，k_1 = 3，k_2 = 7k1<k2，k1=3，k2=7
k1=k2=7k_1 = k_2 = 7k1=k2=7

k1=k2=1：θ1=θ2=1，a=0，b=1k_1 = k_2 = 1：\theta_1 = \theta_2 = 1，a = 0，b = 1k1=k2=1：θ1=θ2=1，a=0，b=1