数学建模相关知识梳理

建模

数学建模相关知识梳理
论文写作包括？
层次分析法
Topsis法
回归分析
一些问题和指标？？
**聚类模型**
数学规划模型
主成分分析
神经网络模型
启发式算法
方程或方程组求解
预测模型

论文写作包括？

论文标题
摘要 ①研究的问题 ②模型 ③求解方法 ④结果 ⑤模型的评价与应用推广等
模型假设
变量说明/符号说明
模型的建立与求解 或 以问题为导向建立模型 列出Problem a，Problemb。。
写好建模思路，对问题本质进行分析，建立模型，给出求解结果。
模型的分析与检验 对模型求解结果进行解释，归纳出结论与建议，结果说明了什么？达到了什么目的？模型适用范围？模型的稳定性和可靠性如何？
模型的评价与推广 对模型完成的工作、达到的目的、得出的规律做一些系统的说明，说明模型的创新之处、为今后工作做的贡献，有什么理论和实际用途。不足之处？改进建议？未解决的问题？以后要解决这些问题的可能的关键点和方向？
参考文献reference
附录

层次分析法

1.1 含义
层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

1.2 建模步骤
评价类问题
评价目标？可选方案？评价指标？
目标：选择一种最优方案。
方案中可以列出各个指标，那么怎么通过指标进行评价分析？

建立判断矩阵：矩阵的行和列都表示为指标，指标之间两两比较，将权重值放入矩阵中。（aij 就是第i行的指标比第j列的指标重要多少）
a12为2 则 a21为1/2。aii 为 1

矩阵可能出现bug，所以要确定判断矩阵是否为一致矩阵，因此需要
一致性检验
对于判断矩阵
[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮an1an2⋯ann]\left[ \begin{matrix}{} a_{11}& a_{12}& \cdots& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots& a_{2n}\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots& a_{nn}\\ \end{matrix} \right] ⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann⎦⎥⎥⎥⎤
计算一致性指标CI
CI=λmax⁡−nn−1CI=\frac{\lambda _{\max}-n}{n-1} CI=n−1λmax−n

找到对应的平均随机一致性指标RI
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
RI 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59

计算一致性比例CR
CR=CIRICR=\frac{CI}{RI} CR=RICI
若CR<0.1 则判断矩阵的一致性可以接受。

用三种方法算权重
1.算术平均法
按列归一化，按行求和，除n，得到每个指标的权重
2.几何平均法

3.特征值法

层次结构？
目标层
准则层
方案层
层层相扣

Topsis法

1.1
TOPSIS法根据有限个评价对象与理想化目标的接近程度进行排序的方法，是在现有的对象中进行相对优劣的评价。TOPSIS法是一种逼近于理想解的排序法，该方法只要求各效用函数具有单调递增（或递减）性就行。TOPSIS法是多目标决策分析中一种常用的有效方法，又称为优劣解距离法。

1.2
最重要的是指标正向化，将所有指标转化为极大型。
1.3
然后为了消去不同指标量纲的影响，对已经正向化的矩阵进行标准化处理。
1.4
计算得分并归一化，根据给定方法一步步来。
1.5
根据得分给定排名。

回归分析

线性回归
通常要找出并分析题目给出的物理量，自己建立线性回归模型。

yi=β0+β1xi+μiy_i=\beta _0+\beta _1x_i+\mu _i yi=β0+β1xi+μiyi=β0+β1x1+β2x2+μiy_i=\beta _0+\beta _1x_1+\beta _2x_2+\mu _i yi=β0+β1x1+β2x2+μiyi=β0+β1x1+β2x2+β3x1x2+μiy_i=\beta _0+\beta _1x_1+\beta _2x_2+\beta _3x_1x_2+\mu _i yi=β0+β1x1+β2x2+β3x1x2+μiln⁡yi=β0+β1ln⁡x1+β2x2+μi\ln y_i=\beta _0+\beta _1\ln x_1+\beta _2x_2+\mu _i lnyi=β0+β1lnx1+β2x2+μi
如上一元多元交互项对数都可以线性回归。
用matlab工具箱即可

一些问题和指标？？

1.某些变量与已添加的自变量相关，则存在内生性，对回归系数估计产生影响。多重共线性是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或高度相关关系而使模型估计失真或难以估计准确。
怎么办？
①逐步回归法 ②岭回归 ③相关分析后去除相关性强的变量 ④ 增加样品容量或者，，主成分分析，，

2.异方差，异方差性容易出现在截面数据中，这是因为在截面数据中通常涉及某一确定时点上的总体单位。比如个别的消费者及其家庭、不同行业或者农村、城镇等区域的划分，这些单位各自有不同的规模或水平，一般情况下用截面数据作样本时出现异方差性的可能性较大。

事实也证明，实际经济问题中经常会出现异方差性，这将影响回归模型的估计、检验和应用。因此在建立计量经济模型时应检验模型是否存在异方差性。关于异方差性检验的方法大致有：图示检验法、Goldfeld - Quandt 检验法、White检验法、Park检验法和Gleiser检验法。也可以用spss。
spss异方差检验方法: link.

3.自相关性，

异方差性：对于不同的解释向量，被解释变量的随机误差项的方差不再是常数，而互不相同，则认为出现了异方差性。　
　
序列相关性：也叫自相关性，如果对于不同的解释向量，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性。类似于时间序列中的自相关性。
　　
对比OLS回归的假设就明白啦：异方差因为违反了残差序列同方差的假定，序列自相关违反了残差序列独立不相关的假定。

怎么处理自相关性问题？
DW检验
参考姜启源《数学建模》这本书

ps 相关系数？
包括
皮尔逊pearson相关系数和斯皮尔曼spearman等级相关系数

一些易错点！！

相关系数为0，只能说不是线性相关，不能说没有关系！可能是非线性相关。
离群点对相关系数的影响很大，应剔除
非线性相关也会导致线性相关系数很大。

怎么办？先画出散点图看看怎么个相关法。再下结论。或者先描述性统计。
怎么评价？可以自己对相关性分类，看看是强相关还是弱相关还是不相关。
如果变量比较多，
可以用Spss: 图形 ‐ 旧对话框 ‐ 散点图/点图 ‐ 矩阵散点图。

可以通过假设检验判断皮尔逊相关系数是否显著地异于0。

非线性回归
可以先线性化，比如先把y取个倒数看看，
可以用matlab 函数： nlinfit

这些应用都可以用 nlinfit 解决。
这位博主写的就很详细: matlab 万能实用的非线性曲线拟合方法.

逻辑回归
解决二分类问题
logit模型
probit模型
建模用spss就行

聚类模型

kmeans聚类
谱系聚类

记得画出图形畸变程度与聚类数的图形，肘部的值为最优解。这是用肘部法则，用图形估计聚类数。用spss中聚类后的系数画个图即可。

DBSCAN算法

数学规划模型

主要三点。
决策变量？
目标函数？
约束条件？

图解法：把图画出来

LINGO 的使用
b站教程: 快速学懂Lingo软件及其编程方法.

定义集合
sets:
S/1…6/:a,b,d;
T/1,2/:x,y,e;
U/S,T/:c;
endsets

赋值
data:
a=1.25 8.75 0.5 5.75 3 7.25;
b=1.25 0.75 4.75 5 6.5 7.75;
d=3 5 4 7 6 11;
x=5 2;
y=1 7;
e=20 20;
enddata

min=@sum(T(j): @sum(S(i):c(i,j)* @sqrt((x(j) -a(i))^{2+(y(j)-b(i))}2)));
@for(S(i):@sum(T(j):c(i,j))=d(i));
@for(T(j):@sum(S(i):c(i,j))<=e(j));
min=@sum(T(j): @sum(S(i):c(i,j)*@sqrt((x(j)-a(i))^{2+(y(j)-b(i))}2)));
@for(S(i): @sum(T(j):c(i,j))=d(i));
@for(T(i): @sum(S(i):c(i,j))<=e(j));
对应的就是
lingo中的一些指标

Stack or Surplus：资源在最优解下剩余的量
Dual Price：资源增加一单位，效用增加的量。

敏感性分析：系数变化，对效用函数变化的影响大小的分析。

整数规划

可用于分段函数。。

要学会找关系，找约束条件，找出来之后就好解决了。

主成分分析

依次算出特征值，贡献率，累计贡献率。
根据累计贡献率确定主成分即可。

神经网络模型

适用范围还是很广的。
在matlab里，command窗口，输入nntool，或者matlab工具箱

启发式算法

找全局最优值。
模拟退火算法
记住matlab里的这个函数：simulannealbnd

粒子群算法PSO

matlab自带函数：particleswarm

遗传算法
optimtool

还有禁忌搜索算法，蚁群算法等，但建模只要掌握上面三个就行。

ps： matlab里
fminsearch函数：使用无导数法计算无约束的多变量函数的最小值
fmincon函数：拟牛顿法求解无约束最小值

方程或方程组求解

matlab 里：
vpasovle函数；
fsovle函数；
或者用粒子群算法。particleswarm函数

求解微分方程
matlab里：
dsovle函数：一般用于常微分方程的解
较复杂的怎么办？

欧拉法
欧拉方法（Euler+method)用以对给定初值的常微分方程(即初值问题)，分为前欧拉法，后欧拉法，改进的欧拉法。
这里就不深入了
龙格库塔法
ode45函数：非刚性方程求解（大部分都用这个）

补充：
刚性方程：方程组的右侧系数矩阵值差异较大，得到的特征值差异随之也较大，因此很难用单一尺度刻画解的行为，因为一个变化快，一个变化慢。
非刚性方程：方程组的右侧系数矩阵值差异不大，得到的特征值差异随之也不大。

预测模型

在方法网上到处都是的情况下，比较重要的就是使用条件了
- 灰色预测分析
灰色预测模型可针对数量非常少（比如仅4个），数据完整性和可靠性较低的数据序列进行有效预测，其利用微分方程来充分挖掘数据的本质，建模所需信息少，精度较高，运算简便，易于检验，也不用考虑分布规律或变化趋势等。
但灰色预测模型一般只适用于短期预测，只适合指数增长的预测，比如人口数量，航班数量，用水量预测，工业产值预测等

- 时间序列分析
一般可以用spss里的专家建模器确定推荐模型。推荐完后一定要进行一下平稳性检验。平稳时间序列检测方法：ADF单位根检验，一般弱平稳也可。

论文里
作时间序列图，进行初步分析。判断时间序列包含的变动成分，
原理一堆放上去，分析过去的趋势，发现规律，预测未来的指标数值，放上数据。