2字节取值范围_第二篇——整数和浮点数在计算机中的表示(2)

下面，我们描述一下用位来编码整数的两种不同方式：一种只能表示非负数，而另一种能表示负数、正数和零。

1、无符号数的编码

原理：无符号数编码的定义

对向量

：

函数

将一个长度为w的0,1串映射到一个非负整数。看示例：

B2U( [0001] ) = 0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 1

B2U( [0101] ) = 0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 5

B2U( [1111] ) = 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 15

这种编码方式最大值用单位向量[11...11]表示，也就是

，最小值用单位向量[00...00]表示，也就是整数

表示范围

原理：无符号数编码的唯一性，函数

是一个双射

函数

将每个长度为w的位向量映射为

之间的唯一值。反过来，

将

之间的每一个整数映射为一个唯一的长度为w的位模式。

2、补码编码

补码可以表示有符号数，补码的定义是将最高有效位解释为负权，用

表示。

原理：补码编码的定义

对向量

：

最高有效位

也被称为符合位，它的权重为

当符合位为1时，表示值为负，0表示非负，看示例：

B2T( [0001] ) = ﹣0*2^3 + 0*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 1

B2T( [0101] ) =﹣0*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 + 1*2^0 = 5

B2T( [1011] ) = ﹣1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = ﹣5

B2T( [1111] ) = ﹣1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = ﹣1

所以w位补码能表示的最大值为

，最大值为

，同无符号表示一样，在可表示的取值范围内的每个数字都有一个唯一的w位的补码编码，从而得到补码数原理，

原理：补码编码的唯一性，函数

是一个双射，

是

的反函数

关于整数数据类型的取值范围和表示，Java标准非常明确，要求用补码表示，单字节数据类型称为byte，而不是char，这些要求是为了保证无论在什么机器上运行，Java程序都能表现的完全一样。有符号数还有两种标准的表示方法——反码和原码

反码：除了最高有效位的权是

外，其他和补码一样

原码：最高有效位是符号位,

对于数字0，两种编码都把[00...00]解释为+0，但是值-0在原码中表示为[10...00]，在反码中表示为[11...11]。几乎所有现代机器都使用补码。

3、有符号和无符号数之间的转换

考虑如下代码：
short int v = -12345;
unsigned short uv = (unsigned short) v;
printf("v = %d, uv = %un", v, uv);在一台采用补码的机器中，上述代码的输出为：
v = -12345，uv = 53191

而-12345的16位二进制表示为：[1100111111000111]，53191的二进制位表示也是[1100111111000111]，这说明强制类型转换的结果是保持位值不变，只改变了解释这些位的方式。

原理：补码转换为无符号数

对满足

的 x 有：

比如，

，

原理：无符号数转化为补码

对满足

的 u 有：

总结：从公式可以看出，对于范围在

之间的值 x ，

，也就是说在这个范围内有相同的无符号和补码表示，对于这个范围以外的数值需要加上或减去

符号位扩展

MSB：最高有效位

截断

无符号加法运算

补码的加法运算

此图示例可以联系符号位扩展加以理解

无符号乘法

有符合乘法

浮点数表示

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：

　（1）符号：(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。

　（2）尾数：M表示有效数字，大于等于1，小于2。

　（3）阶码：2^E表示指数位。

例如：十进制的6.0，写成二进制是110.0，相当于1.10×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.10，E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

（祖传结尾）

感谢作者Randal E. Bryant和David R. O'Hallaron

如有错漏之处望指出，推荐亲自阅读《深入理解计算机系统》