EM算法是一种迭代算法，主要适用于概率模型的参数估计，特别适用于含有隐变量的概率模型参数的极大似然估计，或者极大后验概率的估计。EM算法的每次迭代有两步组成：E步，求期望；M步，极大化。所以这一算法称之为期望极大化算法，简称EM算法。可能大家都听过EM算法，也知道有E步(求期望)和M步(极大化)，但是求期望是求谁的期望，极大化又该如何极大化呢，单看理论有时不免一头雾水，通过实例可以让我们更好的理解，同时也先跟大家说一下EM算法是对初值敏感的。

首先，给大家先推荐一下理论学习的资料吧，毕竟内功还是要修修的。

1、李航统计学习方法-第九章 EM算法及其推广

2、视频教程：徐亦达|概率机器学习(头几个视频是介绍EM算法的)

3、 What is the expectation maximization algorithm?. Nature biotechnology, 26(8), 897.

网上关于EM的理论介绍还是非常多的，这里我们主要通过程序来让大家更好的理解EM算法，

我下面从二硬币模型开始转向三硬币模型帮助初学者更好的理解EM算法的过程。

示例一：二硬币模型

假设现在有两个硬币A和B，我们想要知道两枚硬币各自为正面的概率啊即模型的参数。我们先随机从A,B中选一枚硬币，然后扔10次并记录下相应的结果，H代表正面T代表反面。对以上的步骤重复进行5次。如果在记录的过程中我们记录下来每次是哪一枚硬币(即知道每次选的是A还是B)，那可以直接根据结果进行估计(见下图a)。不含隐变量的参数求解问题

但是如果数据中没记录每次投掷的硬币是A还是B(隐变量)，只观测到5次循环共50次投币的结果，这时就没法直接估计A和B的正面概率。这时就该轮到EM算法大显身手了，EM算法特别适用于这种含有隐变量的参数求解问题(见下图b)。含有隐变量的参数求解

先初始化输入参数，如上图1步给了一个初始值0.6(A硬币正面的概率)，0.5(B硬币正面的概率)。接下来先进行E步(对隐变量求期望)，如上图2步：以第一条数据为例，5H5T，为A的概率为

,为B的概率

，归一化后得P(A)=0.45,P(B)=0.55,剩下几条数据同理可得。而后通过M-step可计算重新迭代的概率值。如上图第一次迭代后

，循环上面的E、M步骤直至收敛我们就可以得到最终的答案，如上图进过10次迭代后得到了最终的结果。

示例二：三硬币模型

现在我们将上面的二硬币模型扩展为三硬币模型，其实原理基本差不多。假设有三枚硬币A、B、C，这些硬币正面出现的概率分别p，q和

。先抛C硬币，如果C硬币为正面则选择硬币A，反之选择硬币B，然后对选出的硬币进行一组实验，独立的抛十次。共做5次实验，每次实验独立的抛十次，结果如图中a所示，例如某次实验产生了H、T、T、T、H、H、T、H、T、H，H代表正面朝上。5次实验结果

本人最近也刚学EM算法，下面代码主要参考EM算法及其推广，这里面作者实现了一个两硬币模型的EM算法。本文对其稍做了一点修改，变成三硬币模型。

EM算法步骤：

E步：计算在当前迭代的模型参数下，观测数据y来自硬币B的概率：

M步：估算下一个迭代的新的模型估算值

对于这个三硬币模型来说，我们先通过E步(对隐变量求期望)来求得隐变量的参数(即属于哪个硬币)，然后再通过M-step来重新估算三个硬币的参数，直至收敛(达到要求)为止。下面是实现三硬币模型的EM算法代码，希望可以更好的帮助理解。

# !usr/bin/env python

# -*- coding:utf-8 -*-

import numpy as np

from scipy import stats

def em_single(priors, observations):

"""EM算法单次迭代Arguments---------priors : [theta_A, theta_B，theta_C]observations : [m X n matrix]Returns--------new_priors: [new_theta_A, new_theta_B,new_theta_C]:param priors::param observations::return:"""

counts = {'A': {'H': 0, 'T': 0}, 'B': {'H': 0, 'T': 0}}

theta_A = priors[0]

theta_B = priors[1]

theta_c=priors[2]

# E step

weight_As=[]

for observation in observations:

len_observation = len(observation)

num_heads = observation.sum()

num_tails = len_observation - num_heads

contribution_A = theta_c*stats.binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_A)

contribution_B = (1-theta_c)*stats.binom.pmf(num_heads, len_observation, theta_B) # 两个二项分布

weight_A = contribution_A / (contribution_A + contribution_B)

weight_B = contribution_B / (contribution_A + contribution_B)

# 更新在当前参数下A、B硬币产生的正反面次数

weight_As.append(weight_A)

counts['A']['H'] += weight_A * num_heads

counts['A']['T'] += weight_A * num_tails

counts['B']['H'] += weight_B * num_heads

counts['B']['T'] += weight_B * num_tails

# M step

new_theta_c = 1.0*sum(weight_As)/len(weight_As)

new_theta_A = counts['A']['H'] / (counts['A']['H'] + counts['A']['T'])

new_theta_B = counts['B']['H'] / (counts['B']['H'] + counts['B']['T'])

return [new_theta_A, new_theta_B,new_theta_c]

def em(observations, prior, tol=1e-6, iterations=10000):

"""EM算法:param observations: 观测数据:param prior: 模型初值:param tol: 迭代结束阈值:param iterations: 最大迭代次数:return: 局部最优的模型参数"""

import math

iteration = 0

while iteration < iterations:

new_prior = em_single(prior, observations)

delta_change = np.abs(prior[0] - new_prior[0])

if delta_change < tol:

break

else:

prior = new_prior

iteration += 1

return [new_prior, iteration]

# 硬币投掷结果观测序列：1表示正面，0表示反面。

observations = np.array([[1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1],

[1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1],

[1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1],

[1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0],

[0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1]])

print em(observations, [0.5, 0.8, 0.6])

运行后结果为：

[[0.51392121603987106, 0.79337052912023864, 0.47726196801164544], 42]

从结果我们可以了解到经过42轮迭代，我们最终得出了结果：硬币A正面的概率为0.51392121603987106，硬币B为正面的概率为0.79337052912023864，C硬币正面概率为0.47726196801164544。

至此EM算法的实现就完成了，另外还有一个EM算法求高斯混合模型參数预计 的python实现，大家有兴趣的可以了解一下。

通过以上的例子希望能过帮助大家更好的理解EM算法。本人也初学EM算法，如果有错误的地方还恳请指正。

参考：

2、Do, C. B., & Batzoglou, S. (2008). What is the expectation maximization algorithm?. Nature biotechnology, 26(8), 897.