[2018.10.17 T2] 最优路线

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最优路线

【题目描述】

一个nnn个点mmm条边的无重边无自环的无向图，点有点权，边有边权，定义一条路径的权值为路径经过的点权的最大值乘边权最大值。求任意两点间的权值最小的路径的权值。

【输入格式】

第一行两个整数n,mn,mn,m，分别表示无向图的点数和边数。
第二行nnn个正整数，第iii个正整数表示点iii的点权。
接下来mmm行每行三个正整数ui,vi,wiu_i,v_i,w_iui,vi,wi，分别描述一条边的两个端点和边权。

【输出格式】

nnn行每行nnn个整数，第iii行第jjj个整数表示从iii到jjj的路径的最小权值，如果从iii不能到达jjj，则该值为−1-1−1。特别地，当i=ji=ji=j时输出000。

【样例 1】

path. in

3 3
2 3 3
1 2 2
2 3 3
1 3 1

path.out

0 6 3
6 0 6
3 6 0

【样例 2】

见选手目录下 path. in/path.ans。

【数据范围与约定】

对于20%20\%20%的数据，n<=5,m<=8n<=5,m<=8n<=5,m<=8。
对于50%50\%50%的数据，n<=50n<=50n<=50。
对于100%100\%100%的数据，n<=500,m<=n∗(n−1)/2n<=500,m<=n*(n-1)/2n<=500,m<=n∗(n−1)/2，边权和点权不超过10910^9109。

题解

先考虑505050分做法，dp[i][j][k]dp[i][j][k]dp[i][j][k]表示iii到jjj，路径上最长边长度为kkk时最大点点权的最小值，类似Floyed\mathcal{Floyed}Floyed更新一下就可以做到O(n4)O(n^4)O(n4)。

事实上，我们不需要那么麻烦，mx[i][j]mx[i][j]mx[i][j]表示iii到jjj路径上最长边的最小值，使用Floyed\mathcal{Floyed}Floyed来更新，但是枚举中继点kkk的时候我们要按点权从小到大枚举，这样iii到jjj路径上点权最大的点就一定是i,j,ki,j,ki,j,k中的一个，于是便可以更新答案为min(ans,mx[i][j]×max(val[k],max(val[i],val[j]))min(ans,mx[i][j]\times max(val[k],max(val[i],val[j]))min(ans,mx[i][j]×max(val[k],max(val[i],val[j]))。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int M=505;
struct sd{int val,id;}pt[M];
bool operator<(sd a,sd b){return a.val<b.val;}
int val[M],mx[M][M],n,m;
ll ans[M][M];
void in()
{scanf("%d%d",&n,&m);memset(mx,127,sizeof(mx));for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(i!=j)ans[i][j]=LONG_LONG_MAX;for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&val[i]),pt[i]=(sd){val[i],i};for(int i=1,a,b,c;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&a,&b,&c),mx[a][b]=mx[b][a]=c,ans[a][b]=ans[b][a]=1ll*max(val[a],val[b])*mx[a][b];
}
void ac()
{sort(pt+1,pt+1+n);for(int k=1;k<=n;++k)for(int i=1;i<=n;++i)for(int j=1;j<=n;++j)if(mx[i][j]>max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]))mx[i][j]=max(mx[i][pt[k].id],mx[pt[k].id][j]),ans[i][j]=min(ans[i][j],1ll*mx[i][j]*max(pt[k].val,max(val[i],val[j])));for(int i=1;i<=n;++i,putchar(10))for(int j=1;j<=n;++j)printf("%lld ",ans[i][j]==LONG_LONG_MAX?-1:ans[i][j]);
}
int main(){in(),ac();}