Luogu2606[ZJOI2010] 排列计数

原题链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P2606

排列计数

题目描述

称一个1,2,…,N的排列P1,P2…,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，…N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值

输入输出格式

输入格式：

输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。

输出格式：

输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, ��的排列中， Magic排列的个数模 p的值。

输入输出样例

输入样例#1：

20 23

输出样例#1：

说明

100%的数据中，1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一个质数。

题解

条件是Pi>Pi/2P_i>P_{i/2}Pi>Pi/2，反过来看就是Pi<Pi<<1,Pi<Pi<<1∣1P_i<P_{i<<1},P_i<P_{i<<1|1}Pi<Pi<<1,Pi<Pi<<1∣1，唉这不是个满二叉小根堆吗。

那么问题就变成了点数为nnn的满二叉小根堆的计数问题，dp[i]dp[i]dp[i]表示以PiP_iPi为根的满二叉小根堆的个数，有转移方程如下：
dp[i]=(siz[i]−1siz[i<<1])×dp[i<<1]×dp[i<<1∣1]dp[i]=\binom{siz[i]-1}{siz[i<<1]}\times dp[i<<1]\times dp[i<<1|1]dp[i]=(siz[i<<1]siz[i]−1)×dp[i<<1]×dp[i<<1∣1]

sizsizsiz数组的话在dpdpdp时顺带维护一下即可。

由于模数不确定，且一定为质数，所以我们使用Lucas\mathcal{Lucas}Lucas定理：
(nm)≡(⌊np⌋⌊mp⌋)×(nmod  pmmod  p)mod  p\binom{n}{m}\equiv\binom{\lfloor\frac{n}{p}\rfloor}{\lfloor\frac{m}{p}\rfloor}\times \binom{n\mod p}{m\mod p}\mod p(mn)≡(⌊pm⌋⌊pn⌋)×(mmodpnmodp)modp

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define ls (i<<1)
#define rs (ls|1)
using namespace std;
const int M=1e6+5;
int siz[M],n,mod,mx;
ll fac[M],inv[M],dp[M];
ll power(ll x,ll p){ll r=1;for(;p;p>>=1,x=x*x%mod)if(p&1)r=r*x%mod;return r;}
ll C(int n,int m)
{if(m>n)return 0;if(n<mod&&m<mod)return fac[n]*inv[n-m]%mod*inv[m]%mod;return C(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
}
void in(){scanf("%d%d",&n,&mod);}
void ac()
{mx=min(mod-1,n);fac[0]=1;for(int i=1;i<=mx;++i)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;inv[mx]=power(fac[mx],mod-2);for(int i=mx-1;i>=0;--i)inv[i]=(i+1)*inv[i+1]%mod;for(int i=n;i;--i){siz[i]=1;if(ls<=n)siz[i]+=siz[ls];if(rs<=n)siz[i]+=siz[rs];if(rs<=n)dp[i]=C(siz[i]-1,siz[ls])*dp[ls]%mod*dp[rs]%mod;else if(ls<=n)dp[i]=dp[ls];else dp[i]=1;}printf("%lld",dp[1]);
}
int main()
{in(),ac();
}