《控制论导论》读书：机构-黑箱
黑箱的一般定义
- 对于一动力系统
- 具有特定的输出/可观测的状态（但不一定所有状态分量都能被观测到）
- 具有/不具有输入端
- 且该系统内部的运行机制是不允许/不能被观测的
- 称该动力系统为黑箱
黑箱的研究方式
- 考虑黑箱可能是含时的（内部性质随时间而发生改变）
- 以表格形式记录试验时间、输入、输出
- 构成的这一串记录，称为该黑箱的“登记表”
黑箱的标准表达式
- 假定黑箱具有变换器的性质
- 根据黑箱的登记表，列出黑箱在不同输入条件下
- 输出的情况
- 输出的变化情况
- 据此可以判定
- 系统是不是确定性的
- 并推导出其标准表达式
- 举例
考察输入为α,β，输出为f,g,h,j的黑箱，进行17次试验，列出登记表
转绘为变换的形式
有可能即获得该黑箱的标准表达式
遭遇非单值变换
- 许多情况下变换并不是单值的
- 常用的两种研究策略
- 再多考虑一些变量进去（由于尚未考虑到的变量而导致了“虚假的不确定性”）
- 仅考虑统计学上的确定性（是否具有如同马尔科夫链一般的统计确定性）
推导内部结构
- 标准表达式并不代表内部结构
- 而仅仅规定了输入-输出关系
- 根据输入-输出关系，可能推导出任意多种内在联系方式
- 性态不能唯一地决定联系，而必须依靠对内部运行机制的知识参与
同构机器
- 简明的定义：一簇在输入-输出关系上具有可比性的机器的统称
- 可比性：对于两个机器的标准表达式，如果存在一个一一变换，可以将一个机器的状态变换为另一个机器的状态；同时将一种表达式转变为另一种表达式
- 利用同构机器，可以
- 使用原理较简单、操作较简易、成本较低廉的机器
- 研究原理复杂/不清楚、操作复杂、成本高昂的机器的输入-输出性质
- 举例
- 采用电工电子构件模拟复杂化工系统——“模拟计算机”——物理模型
- 采用小的机械构件模型模拟高楼大厦——同样是物理模型
- 采用电子计算机：可以通过程序设计，使其与任何动力系统同构——数学模型
- 举例：采用同构机器以约化系统
- 原有系统直接影响图较为复杂：
- M={x′=x2+y22+xy+yx'=\frac{x^2+y^2}{2}+xy+yx′=2x2+y2+xy+y;y′=x2+y22+xy+xy'=\frac{x^2+y^2}{2}+xy+xy′=2x2+y2+xy+x}
- 构造同构机器：{u=x−y;v=x+yu=x-y;v=x+yu=x−y;v=x+y}
- 如此，得到可约系统N={u′=−uu'=-uu′=−u;v′=v+v2v'=v+v^2v′=v+v2}
- 原有系统直接影响图较为复杂：
同态机器
概念
- 对于一个机器A和另一部机器B
- 如果能够找到1个多一变换M
- 使得A在实施该变换后与B同构
- 称B为机器A的同态象
举例
原有机器M、机器N
定义多一变换T
发现T(M)与N同构
启示
- 如果将一个系统的某些状态适当地合并起来，就可能简化为一种新的、更便于研究的形式
- 研究较大的系统的时候，若无法穷尽系统的状态，有可能就采用上述的方法
- 此时所言之“系统”
- 与其说是那个实在的系统本身
- 倒不如说是某个研究者所关心的一组状态
- 须知不同的同态象可能得出不同的关于该系统的结论；针对一个同态象得出的结论，很可能并不适用于另一个同态象
格
一个系统具有不同的简化方式，进而产生一系列同态象
同态象之间也可能存在相互简化的关系，进而可以演化出一个简化的先后次序
描述各个同态象之间关系的图称为“格”
- 1：所有状态都能辨别清晰
- 6：所有状态都混同于一：对于这样的系统，观察者只能断言“它在那里”而说不出别的信息
在格之中位于越高位的同态象，其作为模型对于系统的仿真性就越好
特大黑箱
- 所有实体实际上都是黑箱
- 对现实世界的研究就变成了对变换器的研究
突现性质
- 概念：难以由子系统/元件的性质及其耦合状态直接推出来的系统的性质
- 突现性质的实质是对子系统不完备的认知
- 对子系统认知完备（了解其完全的标准表达式）后，便不会出现突现性质
- 而实际上不可能对所有系统/元件实现完备的认知
- 当系统-子系统大小差异悬殊时，根据子系统性质外推系统整体性质就会出现偏差，进而出现突现性质
对特大黑箱的研究方法
- 小心地确定自己的研究问题
- 应该问“真正想要知道的” e.g. 系统在何种条件下何种状态的特征
- 而不是问“以为自己所要知道的” e.g. 整个系统的性质
- 拓扑方法（e.g. 微分方程稳定性理论）能够对解的性质给出明确的答案，而不需要具体知道解本身
部分可察黑箱
- 此时观察者不仅不知道黑箱内部的构成，甚至无法观察到全部的状态，而只能知道某一部分状态分量
- 观察同一系统的不同状态分量，可能得出完全不一样的结论
示例及系统的“记忆性”
系统整体结构（上帝视角）
- 输入为I，系统含两个部件A、Z
- 仅当I输入为a且Z状态为y时，A具有性质B
- 仅当I具有特殊值μ之后，Z的状态才会为y （机制上，姑且可理解为输入μ以某种历时的形式对Z施加了影响）
观察者甲：能看到A、Z的值
- 研究问题：哪些情况下A具有性质B
- 结果：当Z状态为y且I输入为a时，A具有性质B
- 也即，当I当前输入为a时，A是否具有性质B，取决于Z当前状态是否为y，而不取决于历史状况
观察者乙：能看到A但看不到Z
- 研究问题同甲
- 结果：当I输入为a且I先前曾经输入过μ时，A具有性质B
- 也即，A是否具有性质B，取决于I当前输入及I历史输入
甲乙的争论
- 甲：该系统是无记忆的
- 乙：该系统是有记忆的
评价
- 甲乙面对的其实是两个不同的系统（甲：I，A，Z；乙：I，A）
- 当无法观察到系统的全貌（e.g. 乙）、进而仅根据当前状态难以预测系统行为时，有可能借助于观察系统的过去历史，也即假定系统存在某种“记忆”的性质，从而使得系统重新变得可以预测
- 一个系统有无“记忆”，与其说是系统的某个性质，倒不如说是系统-观察者之间的某种关系，是观察者用以补足其未能观察到系统的某一部分时所作的某种设想，过去某个观察到的变量对当前某个未观察到的变量产生了影响
借助拉普拉斯妖的假说，假如一个全知全能的妖怪知道世界上每一个粒子的确切位置和动量，那么它就可以唯一确定地推知整个世界下一刻乃至于无穷远未来的发展轨迹；而我们之所以常常回溯历史以确定未来，不仅仅因为不确定性原理，还因为历史对此刻的某些我们所未知的东西产生了影响。
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