m 序列性质的简单证明
前言
上课用的 Simon Haykin 《通信系统》论述了 m 序列的性质，没有进行证明。这里参考樊昌信《通信原理》，对 m 序列性质的证明作简要说明。
证明
反馈逻辑完全由模 2 加法器构成时，该反馈移位寄存器被称为是线性的。m 序列为具有 m 个触发器的线性反馈移位寄存器，其周期为 2m - 1（不存在所有触发器状态都为零的状态，因为此时反馈也为零，输出全为零）。
均衡性
在 m 序列的每个周期里，1 的数目总是比 0 的数目多 1 个。
2m - 1 个状态中有 2m/2 个奇数表示的状态，2m/2 - 1 个偶数表示的状态。奇数最低一位为 1，偶数最低一位为 0，则输出序列 1 数目比 0 数目多 1 个。
游程分布
“游程”是指在一个序列周期中，同样符号（1 或 0）组成的子序列。m 序列共有 2m-1 个游程。长度为 kkk 的游程数目占游程总数的 2-k ，其中 1≤k≤m−11\leq k\leq m - 11≤k≤m−1。在长度为 kkk 的游程中 (1≤k≤m−21\leq k\leq m - 21≤k≤m−2)，连“1”的游程和连“0”的游程各占一半。
① 1≤k≤m−21 \leq k \leq m - 21≤k≤m−2
先考虑长度为 k 的连“1”游程，此时它的两端为“0” 。根据排列组合原理，此时 m 长序列的其余元素可能的数目为 2m-k-2。连“0”游程同理，所以 kkk 长游程数目为 2m-k-1 。
② k=m−1k = m - 1k=m−1
仅有一个连“0”游程。长为 m - 1 的连“1”状态不能变成连“1”游程，因为在 m 序列一个周期中，每个状态只能出现一次，若出现了 k=m−1k = m - 1k=m−1 的连“1”游程，考虑到寄存器的逐级移位性质，则不可能出现长为 m 的连“1”状态。
③ k=mk = mk=m
仅有一个连“1”游程。
④ k>mk > mk>m
此时反馈和寄存器状态同为 0 或 1，输出将全为 0 或 1，故不存在 k>mk > mk>m 的游程。
由等比求和公式可知，游程总数为 2m-1 。长为 k(1≤k≤m−1)k(1 \leq k \leq m - 1)k(1≤k≤m−1) 的游程占游程总数的 2-k。
相关性
m 序列的自相关函数是周期性的二值函数。
首先要了解 m 序列的移位相加特性，即一个m 序列 MpM_{p}Mp 与其经过任意次移位产生的另一个不同序列 MrM_{r}Mr 模 2 相加，得到的仍然是 MpM_{p}Mp 的某次延迟移位序列 MsM_{s}Ms。
an+an+r=c1(an−1+an+r−1)+⋯+cn(a0+ar)a_{n}+a_{n+r}=c_{1}(a_{n-1}+a_{n+r-1})+\dots+c_{n}(a_{0}+a_{r})an+an+r=c1(an−1+an+r−1)+⋯+cn(a0+ar)
用递推方程表示输入状态，模 2 加相当于按位异或，两初始状态模 2 加后得到的是一个非全零初始状态，反馈线接法不变，则得到某延迟移位序列。
二进制符号 0 和 1 分别用 -1 和 +1 电平表示，N = 2m - 1，则 m 序列自相关函数可以写为
R(k)=[ai⊕ai+j=0]的数目−[ai⊕ai+j=1]的数目NR(k)=\frac{[a_{i}\oplus a_{i+j}=0]的数目-[a_{i}\oplus a_{i+j}=1]的数目}{N}R(k)=N[ai⊕ai+j=0]的数目−[ai⊕ai+j=1]的数目
由移位相加特性可知，ai⊕ai+ja_{i}\oplus a_{i+j}ai⊕ai+j 是某延迟移位序列，又 m 序列一个周期中 1 的数目比 0 的数目多 1 个，则上式分子为 -1。
R(k)={1k=0−1Nk=1,2,…,N-1R(k)= \begin{cases} 1& \text{k=0}\\ -\frac{1}{N}& \text{k=1,2,\dots,N-1} \end{cases}R(k)={1−N1k=0k=1,2,…,N-1
手算线性卷积时，一般取波形的跳变点进行计算，然后连线（因为跳变点间卷积值线性变化）。同理，自相关函数用周期性连续函数如下表示。TcT_{c}Tc 为 m 序列中分配给符号 0 或 1 的持续时间。
R(τ)={1−N+1NTc∣τ−iNTc∣0≤∣τ−iNTc∣≤Tc,i=0,1,2,…−1NotherwiseR(\tau)= \begin{cases} 1-\frac{N+1}{NT_{c}}|\tau -iNT_{c}|& 0\leq |\tau -iNT_{c}| \leq T_{c},i=0,1,2,\dots\\ -\frac{1}{N}& \text{otherwise} \end{cases}R(τ)={1−NTcN+1∣τ−iNTc∣−N10≤∣τ−iNTc∣≤Tc,i=0,1,2,…otherwise
樊昌信《通信原理 第7版》
Simon Haykin 《Communication Systems 4th Edition》
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