数学建模2015A题（太阳影子定位）

一、题目

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。
1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。
4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。
如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？

二、问题解答

1、第一问

5.1 问题一模型的建立与求解

影子是一种光学现象，影子长度由各个因素共同决定，我们通过确定各参数对影子长度的影响，从而建立影长模型。

5.1.1 影长模型

我们将实际影长、物体高度与太阳三者关系抽象为图1的几何模型，设太阳高度角为 α\alphaα，直杆高度为 lll，影长为lsl_sls ，则有几何关系： l=lscot⁡αl = l_s\cot\alphal=lscotα

由于物体高度是固定的，因此影长与太阳高度角有关，接下来我们分析太阳高度角，建立太阳高度角的具体模型。

太阳高度角模型
太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切面的夹角[1]，如图2所示，查阅资料，太阳高度角计算公式如下：

其中，为所在地纬度，为太阳赤纬夹角，为太阳时角。
因此，太阳高度角与纬度，太阳赤纬夹角和太阳时角有关，由于某地的经纬度是确定的，下面我们从赤纬夹角和太阳时角进行分析。

图2：太阳高度角示意图太阳赤纬夹角赤纬角是由于地球绕太阳运行造成的现象，它随时间而变，因为地轴方向不变，所以赤纬角随地球在运行轨道上的不同点具有不同的数值。赤纬角以年为周期，在+23 °26′与-23 °26′的范围内移动，成为季节的标志[2]，如图3所示。 ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/dd1236fc15d0493aa63c0c42e76e842e.png)

图3：太阳赤纬夹角
查阅相关资料结合赤纬角定义可知，太阳赤纬夹角与时间有关且以年为周期，计算公式为：

其中，为弧度制，表示天数，即一年中的第几天，认为1月1日，，12月31日，。
太阳时角
太阳时角是指日面中心的时角，即从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离[3]。在地球上，同一时刻，对同一经度，不同纬度的人来说，太阳对应的时角是相同的。单位时间地球自转的角度定义为时角，规定正午时角为0，上午时角为负值，下午时角为正值。地球自转一周360度，对应的时间为24小时，即每小时相应的时角为15度。查阅资料可知，太阳时角的计算公式为

其中，为太阳时，为弧度制。
在中国地区，各地时间均用的是北京时间，而北京时间为北京时间是东经120度经线的地方平太阳时，由于中国地域宽广，东西跨经度范围大，分析太阳高度角时我们需采用地方时。根据查阅天文资料，从天文学上说，时间分为真太阳时和平太阳时，在中国，平太阳时即为北京时间，而真太阳时=北京时间+时差，因此，太阳时的计算公式为

其中，表示所在地的标准时间，我国为北京时间，表示所在地的经度，若所在地经度为东经则，若所在地经度为西经，则，为制定标准时间地区的地理经度，中国为，表示太阳公转引起的太阳时和钟表时之间的修正值，以分为单位，查阅资料其计算公式如下：

其中，
综合上述公式可知，影长模型如下：

其中，

为北京时间，为，表示所在地的经度，表示所在地纬度。
5.1.2 影子长度关于各个参数的变化规律
由模型一可知，影长由太阳高度角决定，而太阳高度角由杆高、时间和所在地经纬度决定，由此我们采用控制变量法，分别分析这三个参数与影长的关系。
（1）固定经度为，纬度为 ,时间为2015年10月22日，自变量为杆的高度，因变量为影长，二者关系图如下：

图4：直杆高度与影长关系图

当时间和经纬度均固定时，随着杆高度的增加，影长随之不断增加。
（2）固定杆的高度为3米，经度为，纬度为，自变量为时间，以月为单位变化，因变量为影长，二者关系如图：

图5：时间与影长关系图
当杆高和经纬度均固定时，随着时间的增加，影长呈现先减少后增加的趋势，并在6、7月中间达到最小值，此时应为夏至日。
（3）固定固定杆的高度为3米，时间为2015年10月22日，经度为，自变量为时间，以月为单位变化，因变量为影长，二者关系如图：

图6：所在地纬度与影长关系图
当杆高、时间和所在地经度均固定时，在北半球，随着纬度的增加，影长随之增加，由于地球的对称性，南半球同理成立。
（4）固定固定杆的高度为3米，时间为2015年10月22日，纬度为，
自变量为经度，因变量为影长，二者关系如图：

图7：所在地经度与影长关系图
当杆高、时间和所在地纬度均固定时，在东半球，随着经度的增加，影长呈现先减少后增加的趋势，且影长最小值在附近。
5.1.3 问题一的求解
问题一重述：通过模型一画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线，因此有

代入影长模型，利用MATLAB可绘制出太阳高度角和太阳影子长度的变化曲线分别如下图所示，

图8：时间与太阳高度角变化曲线图9：时间与影长变化曲线
在2015年10月22日北京天安门广场，北京时间从9:00开始一直增加到15:00结束，当直杆高度固定为3米时，影子的长度先减少后增加，且最大长度不超过7米，最小长度大于3.5米，影长达到最小长度时，北京时间为12:00，通过太阳高度角与影长关系图可分析知，此时太阳高度角最大，因而影长最短。对比两图可以发现，太阳高度角的变化与影长的变化正好相反。
5.1.4 误差分析
我们利用模型一计算出理论太阳高度角，通过软件stellarium中实际测量出的太阳高度角数据与理论计算出的数据进行对比，并计算误差，测量时间为2015年10月22日，测量地点为北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒，部分结果如下：

表1：太阳高度角误差分析

北京时间	9:00	10:00	11:00	12:00	13:00	14:00	15:00
理论值	24.4514	32.1941	37.3778	39.1747	37.2264	31.9186	24.0872
实际值	23.5471	31.1730	36.2500	37.9899	36.0596	30.8273	23.0908
相对误差	0.9043	0.0317	0.0302	0.0302	0.0313	0.0342	0.0414

相对误差散点分布图如下：

图10：太阳高度角相对误差散点图
计算相对误差限为0.0414，平均误差为0.0327，故我们可以认为模型误差相当小，从而我们在模型中求出的太阳高度角所作的计算是合理的，因此模型中影长的计算是准确有效的。

5.2 问题二模型的建立与求解

太阳影子定位技术是通过分析物体影子变化，确定拍摄地点及拍摄日期的技术，本题通过附件1中所给出日期与影子顶点坐标，反推确定直杆所在地点。