一、网络流问题

给出一个有向图G=(u,v)，两个不同的节点s与t，其中边上的c为该边上能够通过的最大容量（Capacity）；求满足条件的从S到T的最大流(MaxFlow)；

用c(e)和f(e)分别表示每条边上的容量（Capacity）与流量（Flow）；

1.1 s-t cut

s-t cut :是顶点集合V的一个划分，将其分为两个集合，其中s ∈ A 且 t ∈ B；

cut (A, B)的容量capacity：

Minimum Cut Problem：即找到一个割集，使得cap（A，B）最小；

1.2 Flows

flows的两个性质：

（1）容量限制(Capacity Constraints)：即流出的水肯定比水管的容量要小；

对于图G中的每一条边e（capacity），都有 $0\leq f(e)\leq c(e)$

（2）除了s和t，其它节点流入量总是等于流出的量；

对于除了s、t的节点流出和流入的大小一样，即 $\sum _{e\ in\ to\ v}f(e) = \sum _{e\ out \ of \ v}f(e)$ （conservation）

flow的大小为 $v(f) = \sum_{e\ out\ of \ A}c(e)$ ,即由顶点s出去的流大小总和；

最大流问题：求s-t流量的最大值；

1.3 Flows and Cuts

1.3.1 Flow value lemma

令f为任意流，（A，B）为任意割集，那么满足f的大小为从A流出的流大小减去流入A的流大小；

即 $v(f) = \sum _{e\ out\ of \ A}f(e)-\sum _{e\ in\ to \ A}f(e) = \sum _{e\ out\ of \ s}f(e)$ ；

如下图：

证明：

1.3.2 最大流=最小割

即对于任意的流f与任意的割集（A，B）来说，都有 $v(f) \leq cap(A,B)$ ，即任意流小于割的大小；

证明：

如果v(f) = cap(A, B)，那么f即为最大流，而A，B即为最小割；

1.3.2 求最大流的算法

（a)贪心算法

初始化所有的边flow=0；
找到一条s-t路径P，使得在该条路径上每条边都有f(e)<c(e)
沿路径P增加流量
重复该过程直到stuck

但是局部最优并不等于全局最优，如下图，利用贪心算法得到的结果为20，但是实际的最优值opt=30；

（b）Residual Graph

，加上一条反向的边，能够达到撤回的目的

1.如果这两点连线原来就是原图的边，那么它的残存容量等于运载上限-运输流量。即从u到v其大小为17-6=11；
2.如果这两点的反向连线是原图的边，那么它的残存容量等于那条边的运输流量，从v到u其大小为6；
3.其他情况是0，当做没连通。

接下来我们看看残存网络对我们的帮助：

1.残存网络中没有从s到t的路径时，最大流等于最小割容量。
2.残存网络中有从s到t的路径时，最大流不等于最小割容量。

（c）Ford-Fulkerson Algorithm

（1）初始化，所有边的flow都初始化为0

（2）寻找增广路径，增广路径中找最小的c(e)，记作F。在这种残存网络还有路径从s通向t的情况中，我们没有做到最好，我们要把F纳入我们对于流的更新，直到找不到增广路径为止，更新方法如下:

(a)路径s->2->5->t:最小c(e)=8; Flow=8;

,更新残存网络

（b）路径s->2->3->5->t,最小c(e)=2; Flow=8+2=10;

更新残存网络：

（c）路径s->3->5->4->t,最小c(e)=6; Flow=10+6=16;

更新残存网络：

（d）路径s->3->2->4->t,最小c(e)=2; Flow=16+2=18;

（e）路径s->3->5>2->4->t,最小c(e)=1; Flow=18+1=19;

此时，由s-t已经没有增广路径，故算法结束，最大流为19；

伪代码：

1.3.3 Max-Flow Min-Cut Theorem

当没有增广路径的时候，Flow f即为最大流；
最大流=最小割；

证明：

（1）->（2）

假设我们有一个割（A,B）的容量等于f的值，那么利用弱对偶的关系，其他流的值<=(A,B)的容量，而由于1的假设，（A，B）的容量等于f的值，因此得到其他流的值都小于f的值，从而（2）成立；

（2）->(3)

我们来证明它的逆否命题。对于f如果还有还有增广路径，那f不是最大流，这很显然，如果按照FF算法的话，我们还可以增加flow f的值，因此f就不会是最大流，因此逆否命题成立，也就代表（2）->(3)成立

（3）->(1)

让割（A,B）满足这么一个条件：s在A中，且A中的顶点通过一些无向的边连接而成，这些边要么是不是满的前向边要么是非空的反向边。如下图中加粗的边。

那么根据定义，s在A中，由于没有增广路径，因此t在B中。

由于这个割的B到A的边流量全是0，

这个割的容量 = 沿着这个割的netflow(从A到B边的流量-从B到A边的流量)

又根据flow-value引理，netflow = value of low,因此推出（1）.

1.4 时间复杂度的分析

假设所有的容量capacity的值为在1~C之间的整数；并且在整个算法过程中，f(e)和剩余容量cf(e)也都保持整数大小；

1.4.1 选择合适的Augmenting Paths

当为如下情况的时候，FF算法需要迭代C次；

而如果C是无理数，那么会导致该算法无法终止；

目标：能够高效地找到增广路径，并能够更少次数的迭代；

方法：

选择具有最高瓶颈容量的路径可以最大限度地增加流量；

伪代码如下：

参考：

https://blog.csdn.net/a519781181/article/details/51908303

https://ouuan.github.io/post/%E5%9F%BA%E4%BA%8E-capacity-scaling-%E7%9A%84%E5%BC%B1%E5%A4%9A%E9%A1%B9%E5%BC%8F%E5%A4%8D%E6%9D%82%E5%BA%A6%E6%9C%80%E5%B0%8F%E8%B4%B9%E7%94%A8%E6%B5%81%E7%AE%97%E6%B3%95/

具体实现代码：https://blog.csdn.net/nichchen/article/details/84855121?utm_medium=distribute.pc_relevant.none-task-blog-title-10&spm=1001.2101.3001.4242

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