网络流——最大流和最小割

最小割问题

ststst割：将节点划分为A,BA,BA,B两个集合，其中源节点s∈As\in As∈A且宿节点t∈Bt\in Bt∈B
ststst割的容量：由集合AAA到集合BBB所有出边容量之和。割容量可以看成是由集合AAA推向集合BBB的最大流值（割流量的最大值），这也是不包含反向边的容量的原因，即不包含由集合BBB指向集合AAA的出边容量。反向边只会使割流量减少。
目标:使ststst割的容量最小
例如，下面ststst割的容量为34：

最大流问题

ststst流 fff：满足容量约束和流守恒约束，如下：

容量约束：保证每个链路流量不超过该链路的承受能力
流守恒约束：保证中间节点不囤积流量

流值大小：

目标：使流值最大

用Ford-Fulkerson算法求解最大流和最小割

贪心策略是失败的，因为无法撤销已添加的流
算法伪代码如下：
算法核心为剩余网络，该网络边值表示可以往该方向推送的剩余流量还有多少

例子如下：
原网络和相应的流值为一幅图

剩余网络为另一幅图

补充

求解顺序应该是先求剩余网络，再求原网络下对应的流。求解方法为用原网络的容量减去原网络对应残余网络的边的权值（没有对应可以虚拟一条权值为0的边），即该链路上流的大小。
Ford-Fulkerson算法结束时，被阻塞的节点集合与另一集合的划分，即为最小割，如上图阴影部分。

最大流最小割定理

①流值引理：任意流的值大小等于沿任意割的净流量（反向流会减），如下图所示：

黑色节点属于集合AAA，白色节点是属于集合BBB，反向割流是要减掉的
根据流值大小定义，证明：

证明解释：因为除了s,ts,ts,t之外，其余顶点是满足流守恒约束的，因此第二个等式可以将sss点换成集合AAA，因为集合A中除sss点外，其余点的出流量之和减入流量之和恒等于0。

②弱对偶定理：任意流值小于等于任意割容量，即val(f)≤cap(A,B)val(f)\leq cap(A,B)val(f)≤cap(A,B)
由流值引理配合放缩证明，过程如下：

直观认知：由于流值是和割流量相等的，而割流量只有在饱和容量且无反向边流量的条件下才等于割容量，因此流值小于等于任意割容量。

③若某个流fff值val(f)val(f)val(f)等于某个割容量cap(A,B)cap(A,B)cap(A,B)，即val(f)=cap(A,B)val(f) = cap(A,B)val(f)=cap(A,B)，那么fff是最大流，(A,B)(A,B)(A,B)是最小割。
证明：

第一个式子说明流fff是最大流，第二个式子说明(A,B)(A,B)(A,B)是最小割，因为是任意性证明

以下三个命题等价：

存在一个割容量等于某个流值，即cap(A,B)=val(f)cap(A,B) = val(f)cap(A,B)=val(f)
fff是最大流
对于某个流fff而言，不存在增广路径

最难的是3->1,主要证明3->1:
令fff是不带增广路径的流，集合AAA是剩余网络中从起点sss可达的节点的集合。
则原网络和流图，可以表示如下：

有下列关系：

若第二项不等于0，则剩余网络可扩展，直到为0为止