网络流中最大流和最小割算法
学习顺序按照下图的改进历程
问题转化：寻找初始解，提升，达到条件停止
求解优化，加回溯边，画残差图，在残差图中寻找一条s可到t的路径
看最大流最小割问题，证明 除 ST外每个点的出度和入度相等，S和T两点出入度差为最大流f
根据图列线性规划
从对偶问题中理解FF算法
对偶问题转化：
转化后
变成对偶后还没有结束，还可以简化
（第一步中四者因为是最小割，图被切为两部分，S和T必然在两边，则二者之一不起作用，假设ys=0）
此时还有不等式，我们看345三个约束，
先科普一下，若A的任意子方阵的行列式等于0,1,-1,则称A为全单模矩阵。由定义容易得到全单模矩阵的元素只有0，-1，1。
345约束的系数矩阵为全单模矩阵，因此证明这个线性规划的解必然是整数点。
这样的FF算法有明显的缺陷，
Dinitz的提升
这样的提升还不够，于是有
EK算法
由于时间复杂度一直太高，所以最大流问题一直被寻求新方法，接下来就是
著名的dinic算法
首先学会构建-Layered-Network(Gf )
尝试构建一下
由于最右上角的点使得S到T不可达，删除
结果是
下一步：寻找
blocking flow
其实你会发现删除不可达的节点在寻找blocking的时候就做了
结果最大流算法变成
到此学习结束，但是发现没有回忆起来曾经学的最大流最小割，，，，，
还有费用问题
呜呜
又看了一会儿得出一些最小割做题理解
对于上边看的对偶问题
当最大流对偶成最小割时候，也就是整数规划，那么可以用线性规划方法很快解出来。
那么这和最小割有什么关系呢？
打开我的matlab。。。。。
clc;clear;
f = [0, 0, 2, 1, 3, 2, 1];
intcon = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7];
A = [-1, 1, 0, 0, -1, 0, 0; -1, 0, 0, 0, 0, -1, 0; 0, -1, 0, 0, 0, 0, -1];
b = [0; -1; -1];
Aeq = [-1, 0, 1, 0, 0, 0, 0;0, -1, 0, 1, 0, 0, 0];
beq = [0; 0];
lb = zeros(7,1);
ub = [1;1;1;1;1;1;1]; % Enforces x(3) is binary
[x,fval,exitflag,output] = intlinprog(f,intcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub);
disp(x);
算完了发现结果是
也就是yu=1,yv=1，z1=1,z2=1，对着图看一下
发现最小割，确实就是红线指的那个，最小割也就是3.
说了这么多，我自己会不会算整数规划呢？手算一下试试
首先内点法肯定是不错的方法，可惜手推麻烦，画图又不会。。。。
那么还是先看个例子吧
对于这个问题，直接LP，求得解不满足x1,x2,x3试试整数，由于x1=1.25，那么向上向下各取一个整数边界，即小于等于1和大于等于2，
问题转化
发现P1的结果已经满足x1为整数， 继续转化，其中因为是最小化，如果向上向下都有解，那么选择小的，结果如下
P5时满足条件，则求解完成。
虽然我们这里变量都是0-1变量不过不影响，只是确定的更快而已，那就是如何手撕LP了，选择单纯形法最多用了，试试
只算了一次，还需要迭代，不保证算对。。。但是感觉没算错，有意者参考单纯形法实例
最大流和最小割的转化就是哪个好算用哪个，而最小割一般就是中间两排节点之间的度为INF，这时候也就只能割S到第一排或者第二排到T。
而中间两排节点之间度怎么理解，我觉得就是你吧一个问题转化为网络流问题时，若是存在不可分割的东西，就想象用最小割，而它们之间的边的度就是INF。
例如
这里最明显的就是相邻的必须有一个
其他例子
边的终点必须是被选节点中的点，那么点和边就不可分割了。
画图如下：
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