数学分析第三课(上下确界的概念)

Definition Let SSS be a set. An order on SSS is a relation, denote
by <<<, with the following two properties:

If x∈Sx\in Sx∈S and y∈Sy\in Sy∈S then one and only one of the statements
x<y,x=y,y<xx<y, x=y, y<xx<y,x=y,y<x is true.
If x,y,z∈Sx,y,z\in Sx,y,z∈S, if x<yx<yx<y and y<xy<xy<x, then x<zx<zx<z.

Definition An ordered set is a set SSS in which an order is defined.

Definition Suppose SSS is an ordered set, E⊂SE\subset SE⊂S, and EEE is
bounded above. Supose there exists an α∈S\alpha\in Sα∈S with the following
properties:

α\alphaα is an upper bound of EEE
If γ<α\gamma<\alphaγ<α then γ\gammaγ is not an upper bound of EEE.

Then α\alphaα is called the least upper bound of EEE or the
supremum of EEE α=sup⁡E\alpha=\sup{E}α=supE

Definition Suppose SSS is an ordered set, E⊂SE\subset SE⊂S, and EEE is
bounded blow. Suppose there exists an α∈S\alpha\in Sα∈S with the following
properties:

α\alphaα is a lower bound of EEE
If γ>α\gamma>\alphaγ>α then γ\gammaγ is not a lower bound of EEE.

Then α\alphaα is called the greatest lower bound of EEE, or the
infimum of EEE

α=inf⁡E\alpha=\inf{E}α=infE

Definition An ordered set SSS is said to have the
least-upper-bound property if the following is true:
If E⊂SE\subset SE⊂S, EEE is not empty, and EEE is bounded above, then
sup⁡E\sup{E}supE exists in SSS.
Theorem Suppose SSS is an ordered set with the least-upper-boudn
property, B⊂SB\subset SB⊂S, BBB is not empty, and BBB is bounded below. Let
LLL be the set of all lower bounds of BBB. Then α=sup⁡L\alpha=\sup{L}α=supL
exists in SSS, and α=inf⁡B\alpha=\inf{B}α=infB

Proof.\

∀α(a∈B)\forall \alpha (a\in B)∀α(a∈B), aaa is an upper bound of LLL. Since BBB
is bounded blow, LLLis not empty. From the definition of a set with
the least-upper-bound property, we get that LLL has a supremum value
in SSS. We call it α\alphaα. α=sup⁡L\alpha=\sup{L}α=supL
1. ∀γ(γ<α)\forall\gamma (\gamma<\alpha)∀γ(γ<α), γ\gammaγ is not an upper bound
  of LLL, which means that γ\gammaγ is a lower bound of BBB and
  γ∈L\gamma\in Lγ∈L. In another word,
  ∀γ(γ<α)→γ∈L\forall\gamma (\gamma<\alpha)\rightarrow \gamma\in L∀γ(γ<α)→γ∈L.
2. ∀β(β>α)\forall \beta (\beta>\alpha)∀β(β>α), β∉L\beta\notin Lβ∈/L, because
  α\alphaα is the least upper bound of LLL. β∉L\beta\notin Lβ∈/L means
  that β\betaβ is not a lower bound of BBB. Hence,
  ∃δ(δ∈B)→δ<β\exists \delta(\delta\in B)\rightarrow \delta<\beta∃δ(δ∈B)→δ<β.
From the definition of the greatest lower bound, we have shown that
α=inf⁡B\alpha=\inf{B}α=infB

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