信息学奥赛一本通 1082：求小数的某一位

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ybt 1082：求小数的某一位
OpenJudge NOI 小学奥数 7830:求小数的某一位

【题目考点】

1. 数制：求某小数位

设rrr为a/b的余数，q是整数商，那么根据
a÷b=q⋯⋯ra \div b = q \cdots\cdots ra÷b=q⋯⋯r
有ab=q+rb\frac{a}{b} = q + \frac{r}{b}ba=q+br
其中q是结果的整数部分，rb\frac{r}{b}br是结果的小数部分。
假设rb\frac{r}{b}br值为0.d1d2d3d4...0.d_1d_2d_3d_4...0.d1d2d3d4...其中did_idi是每一位的数字。
根据按位权展开公式，有：
rb=d1⋅10−1+d2⋅10−2+d3⋅10−3...\frac{r}{b} = d_1\cdot10^{-1}+d_2\cdot10^{-2}+d_3\cdot10^{-3}...br=d1⋅10−1+d2⋅10−2+d3⋅10−3...
两边乘以10，有：
10rb=d1+d2⋅10−1+d3⋅10−2...\frac{10 r}{b} = d_1+d_2\cdot10^{-1}+d_3\cdot10^{-2}...b10r=d1+d2⋅10−1+d3⋅10−2...
10rb的余数是(10r)%b\frac{10r}{b}的余数是(10r)\%bb10r的余数是(10r)%b
这个数的整数部分是10r−(10r)%bb=d1\frac{10r - (10r) \% b}{b} = d_1b10r−(10r)%b=d1，
小数部分:(10r)%bb=d2⋅10−1+d3⋅10−2...\frac{(10r) \% b}{b} = d_2\cdot10^{-1}+d_3\cdot10^{-2}...b(10r)%b=d2⋅10−1+d3⋅10−2...
得到的d1d_1d1，即为十分位数字。
同样地，将(10r)%bb\frac{(10r) \% b}{b}b(10r)%b再乘以十，并分离整数部分，得到的就是百分位数字。
由此，总结出求小数各位数字的方法是：乘十取整。
求第n位小数，就是乘十取整10次后，最后一次取整得到的整数。

2. （扩展）数制：求某位的数字

求任意进制数字整数部分某位的方法是：除基取余
求任意进制数字小数部分某位的方法是：乘基取整
其中“基”是指该数制的基数，如十进制的基数是10，十六进制的基数是16。

2. 模拟：除法竖式

除法竖式本质上就是上述运算。但一般学生对除法竖式更为了解，所以以模拟除法竖式的角度来解题也可以。

设被除数为r，使r = a%b，作为最初的被除数，除数还是b。

被除数r比除数b小，r乘以10，然后求r/b，得到的商写在商的位置，即为十分位的值，得到的余数作为新的被除数。

此时被除数r比除数b小，r乘以10，然后求r/b，得到的商即为百分位的值，得到的余数作为新的被除数。
不断循环，第n次循环求出的商即为小数点后第n位。

【解题思路】

1. 以数制中“乘10取整”的思路来做

2. 以模拟除法竖式的角度来做

两种思路写出来的代码实际是一样的。

【题解代码】

解法1：数制：乘基取整

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int a, b, n, d;//d为某一位的数字cin >> a >> b >> n;int r = a % b;//r为分子for(int i = 1; i <= n; ++i){r *= 10;d = (r - r % b) / b;//求r除以b的商，为第i位小数r %= b;//r的新值为(10r)%b}cout << d;//第n次求出的d就是第n位数return 0;
}

解法2：模拟除法竖式

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int a, b, n, d;//d为某一位的数字cin >> a >> b >> n;int r = a % b;//初始的被除数for(int i = 1; i <= n; ++i){r *= 10;//被除数乘以10d = r / b;//求出此次相除得到的商，即为第i位的数字r %= b;//余数作为新的被除数}cout << d;return 0;
}