信息学奥赛一本通 1080：余数相同问题 | OpenJudge NOI 小学奥数/2.1 7647:余数相同问题

【题目链接】

ybt 1080：余数相同问题
OpenJudge NOI 2.1 7647:余数相同问题
OpenJudge NOI 小学奥数 7647:余数相同问题

【题目考点】

1. 枚举

【解题思路】

题目给出a，b，c小于等于10610^6106，可行的解一定小于10610^6106，可以考虑用枚举解法。

枚举解法
x从2循环到1000000，分别求a % x, b % x, c % x，如果三者的结果相等，那么输出x，结束程序。
处理后的枚举解法
已知a，b，c除以数x后得到的余数相同，可以有方程组
a÷x=q1⋯⋯ra \div x = q_1 \cdots\cdots ra÷x=q1⋯⋯r
b÷x=q2⋯⋯rb \div x = q_2 \cdots\cdots rb÷x=q2⋯⋯r
c÷x=q2⋯⋯rc \div x = q_2 \cdots\cdots rc÷x=q2⋯⋯r
其中x,q1,q2,q3,rx,q_1,q_2,q_3,rx,q1,q2,q3,r都是整数
方程两两相减，调整后可得
a−bx=q1−q2\frac{a-b}{x} = q_1 - q_2xa−b=q1−q2
b−cx=q2−q3\frac{b-c}{x} = q_2 - q_3xb−c=q2−q3
由于不清楚a，b，c的大小关系。为了使参与运算的表达式都是非负数，对等式两侧取绝对值，有
∣a−b∣x=∣q1−q2∣\frac{|a-b|}{x} = |q_1 - q_2|x∣a−b∣=∣q1−q2∣
∣b−c∣x=∣q2−q3∣\frac{|b-c|}{x} = |q_2 - q_3|x∣b−c∣=∣q2−q3∣
等式右侧的都是整数值，因而左侧必然可以整除，即∣a−b∣|a-b|∣a−b∣可以整除xxx，且∣b−c∣|b-c|∣b−c∣可以整除xxx。
题目要求最小的x，即求∣a−b∣|a-b|∣a−b∣与∣b−c∣|b-c|∣b−c∣的最小公约数。
具体方法，还是枚举。x从2循环到1000000，看哪个x能同时被∣a−b∣|a-b|∣a−b∣和∣b−c∣|b-c|∣b−c∣整除。
注意：不能写为x从2循环到min(∣a−b∣,∣b−c∣)min(|a-b|,|b-c|)min(∣a−b∣,∣b−c∣)，因为这两个差值可能为0，从2开始循环的话，会导致循环体一次都不执行，以至于没有输出。

【题解代码】

解法1：枚举

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int x, a, b, c;cin>>a>>b>>c;int am, bm, cm;//a，b，c对x取模的值for(x = 2; x <= 1000000; ++x){am = a % x;bm = b % x;cm = c % x;if(am == bm && bm == cm && cm == am){cout<<x;//只求最小值，只要找到一个符合条件的x即可break;}}return 0;
}

解法2：处理后的枚举

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{int x, a, b, c;cin>>a>>b>>c;int ab = abs(a - b), bc = abs(b - c);for(int x = 2; x <= 1000000; x++){if(ab % x == 0 && bc % x == 0){cout<<x;break;}}return 0;
}

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【题解代码】

解法1：枚举

解法2：处理后的枚举

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