二叉搜索树相关性质的应用

2024-04-04 01:30:30

二叉搜索树：Binary Search Tree

1. 顺序性

任一节点 r （根节点或者内部节点）的左（右）子树（而不是左右孩子那么简单）中，所有结点（若存在）均不大（不小于）r。

这样设计（增加一种顺序性）二叉树的目的在于，使其中序遍历（左中右）得到的访问的序列呈单调非降的趋势。

注意，顺序性是一种很强的条件。事实上，搜索树中结点之间的全序关系，已完全“蕴含”于这一条件（顺序性）之中。

更一般性的结论如下，任何一棵二叉树是二叉搜索树，当且仅当（二者等价）其中序遍历序列单调非降。

2. 二叉搜索树的特性

一棵二叉搜索树由一组（互异的关键码）组成，可能形式不太相同，但它们的中序遍历必然相同。

现在考虑这样一个问题，n 个互异结点能构成多少棵二叉搜索树。

不妨将 n 个互异结点组成的二叉搜索树的总数记作 T(n)T(n)。由以上结论可知，一组结点构成的二叉搜索树可能形态不尽相同，但其中序遍历都是一致的，不妨记作：

{x0,x1,x2,…,xk−1,},xk,{xk+1,…,xn−1}

\left\{x_0,x_1,x_2,\ldots,x_{k-1},\right\},x_k,\left\{x_{k+1},\ldots,x_{n-1}\right\}

根据所选择树根结点的不同，树根为 xk,k=0,…,n−1x_k,k=0, \ldots,{n-1} ，所有的搜索树可以分为 nn 类（注意是 n 类，不是 n 种）。则有边界条件和递推公式可知：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪T(0)=T(1)=1T(n)=∑k=0n−1T(k)⋅T(n−k−1)

\left\{ \begin{array}{l} T(0)=T(1)=1\\ T(n)=\sum_{k=0}^{n-1}T(k)\cdot T(n-k-1) \end{array} \right.

注意：T(n)T(n) 表示的是 nn 个互异节点构成的二叉搜索树的数目（而不是树根的位置）。T(1)T(1) 自然表示的是只有一个节点时，可能构成的二叉搜索树的数量，显然只有 1 种。T(0)T(0) 自然表示只有 0 个节点，这里规定其值为 1。

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