Codeforces123E. Maze【树形dp】【概率dp】【证明题】

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题目大意

一棵树，上面的每个点都有一定概率成为起点和终点

从起点出发，随机游走，并按照下列规则统计count：

DFS(x)if x == exit vertex thenfinish searchflag[x] <- TRUErandom shuffle the vertices' order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosenfor i <- 1 to length[V] doif flag[V[i]] = FALSE thencount++;DFS(y);count++;

求count的期望

思路

首先来证明一个东西：

对于每个节点u，如果这个节点是终点，那么他的贡献是
\[ \sum_{(u,v)\in E}siz_v*sump_v \]
\(sump_v\)是子树内每个节点作为起始节点的概率和

首先我们把一个以u为根子树拿出来，对于其中的每一个点v

如果起始节点s在v的子树内，v一定会被经过1次，贡献\(p_s\)

如果s不在v的子树内，v有\(\frac{1}{2}\)的概率会被经过，贡献\(p_s*2*\frac{1}{2}=p_s\)

不被经过的贡献是\(0\)

然后来证为为什么有\(\frac{1}{2}\)的概率被经过

从s开始进入每个子树，要么遍历完，要么停下来

所以可以认为任何一个子树在停下来之前被访问的概率都是\(\frac{1}{2}\)

然后这题做完了。。。泪奔ing

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;typedef double db;const int N = 1e5 + 10;int n, siz[N];
vector<int> g[N];
db p[N], q[N], sump = 0, sumq = 0, ans;void dfs(int u, int fa) {siz[u] = 1;for (auto v : g[u]) {if (v == fa) continue;dfs(v, u);siz[u] += siz[v];p[u] += p[v];ans += q[u] * siz[v] * p[v];}ans += q[u] * (n - siz[u]) * (sump - p[u]);
}int main() {scanf("%d", &n);for (int i = 1; i < n; i++) {int u, v;scanf("%d %d", &u, &v);g[u].push_back(v);g[v].push_back(u); }for (int i = 1; i <= n; i++) {scanf("%lf %lf", &p[i], &q[i]);sump += p[i], sumq += q[i];}dfs(1, 0);printf("%.15lf", ans / (sump * sumq));return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/dream-maker-yk/p/10206311.html

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