常微分二阶线性齐次微分方程的通解推导

对于形如 y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 的常微分二阶线性齐次微分方程，需要先求出两个线性无关的实数域特解 y1y_1y1 和 y2y_2y2 (即 y1y2≠C\frac{y_1}{y_2}\ne Cy2y1=C )，再将两个特解叠加得到通解 y=C1y1+C2y2y=C_1y_1+C_2y_2y=C1y1+C2y2。可以通过求解特征方程来求出微分方程的特解。

设解的形式为 y=erxy=e^{rx}y=erx ，将其带入微分方程可得 (r2+pr+q)erx=0(r^2+pr+q)e^{rx}=0(r2+pr+q)erx=0 。由于erxe^{rx}erx不为0，可得 r2+pr+q=0r^2+pr+q=0r2+pr+q=0 ，该等式被称为微分方程的特征方程。特征方程是一个一元二次代数方程，其解可由求根公式得到，有三种情况：

(1) Δ=p2−4q>0\Delta = p^2-4q>0Δ=p2−4q>0，存在两个不相等的实根 r1≠r2r_1\ne r_2r1=r2

则两个特解为 y1=er1x,y2=er2xy_1=e^{r_1x}, y_2=e^{r_2x}y1=er1x,y2=er2x，通解为 y=C1er1x+C2er2xy=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}y=C1er1x+C2er2x

(2)Δ=p2−4q=0\Delta = p^2-4q=0Δ=p2−4q=0，存在两个相等的实根 r=r1=r2r=r_1=r_2r=r1=r2

由根的判别公式可知，此时r=−p2r=-\frac{p}{2}r=−2p

此时只有一个特解 y1=erxy_1=e^{rx}y1=erx，因此需要构建出另一个线性无关的特解，设 y2=u(x)erxy_2=u(x)e^{rx}y2=u(x)erx，可知 y2y1=u(x)≠C\frac{y_2}{y_1}=u(x)\ne Cy1y2=u(x)=C，满足线性无关条件

将 y2=u(x)erxy_2=u(x)e^{rx}y2=u(x)erx 带入原微分方程 y′′+py′+qy=0y''+py'+qy=0y′′+py′+qy=0 可得
(u′′+2u′r+ur2+u′p+urp+uq)erx=0(u′′+2u′r+u′p)erx=0(因为 u(r2+rp+q)=0)\begin{aligned} (u''+2u'r+ur^2+u'p+urp+uq)e^{rx}&=0\\ (u''+2u'r+u'p)e^{rx}&=0\quad(\text{因为 }u(r^2+rp+q)=0) \end{aligned} (u′′+2u′r+ur2+u′p+urp+uq)erx(u′′+2u′r+u′p)erx=0=0(因为 u(r2+rp+q)=0)
将 r=−p2r=-\frac{p}{2}r=−2p 带入上式，可得 u′′erx=0⇒u′′=0u''e^{rx}=0\Rightarrow u''=0u′′erx=0⇒u′′=0

在知道二阶导数 u′′(x)u''(x)u′′(x) 等于0后，不妨设 u(x)=xu(x)=xu(x)=x （也可以设 u(x)=kx+bu(x)=kx+bu(x)=kx+b，在叠加特解后可以通过合并常数项得到相同通解），则得到特解 y2=xerxy_2=xe^{rx}y2=xerx，有通解 y=(C1+C2x)erxy=(C_1+C_2x)e^{rx}y=(C1+C2x)erx

(3）Δ=p2−4q<0\Delta = p^2-4q<0Δ=p2−4q<0，存在共轭复根 r1=a+bi,r2=a−bir_1=a+bi, r_2=a-bir1=a+bi,r2=a−bi

即有特解 y1=e(a+bi)x,y2=e(a−bi)xy_1=e^{(a+bi)x}, y_2=e^{(a-bi)x}y1=e(a+bi)x,y2=e(a−bi)x，根据欧拉公式 ebi=cos(b)+isin(b)e^{bi}=cos(b)+isin(b)ebi=cos(b)+isin(b) ，可将特解化为 y1=eax(cosbx+isinbx),y2=eax(cosbx−isinbx)y_1=e^{ax}(cosbx+isinbx), y_2=e^{ax}(cosbx-isinbx)y1=eax(cosbx+isinbx),y2=eax(cosbx−isinbx)，则有通解 y=eax[D1(cosbx+isinbx)+D2(cosbx−isinbx)]y=e^{ax}[D_1(cosbx+isinbx)+D_2(cosbx-isinbx)]y=eax[D1(cosbx+isinbx)+D2(cosbx−isinbx)]。

以上通解含复数，需要将复数项消去。固定通解中的常数项，可以得到两个不含复数的特解：

令 D1=D2=12D_1=D_2=\frac{1}{2}D1=D2=21，可得 u1=eaxcosbxu_1=e^{ax}cosbxu1=eaxcosbx

令 D1=12i,D2=−12iD_1=\frac{1}{2i}, D_2=-\frac{1}{2i}D1=2i1,D2=−2i1，可得 u2=eaxsinbxu_2=e^{ax}sinbxu2=eaxsinbx

则通解为 y=C1u1+C2u2=eax(C1cosbx+C2sinbx)y=C_1u_1+C_2u_2=e^{ax}(C_1cosbx+C_2sinbx)y=C1u1+C2u2=eax(C1cosbx+C2sinbx)

参考资料

常系数二阶线性齐次微分方程的求解 - 知乎 (zhihu.com)
Differential Equations - Complex Roots (lamar.edu)
Differential Equations - Repeated Roots (lamar.edu)