如图所示，

已知AB = AC，∠ABD = 20°，∠ACE = 30°，∠CBD = 50°，∠BCE = 60°

求∠BDE

看上去貌似是个初中级别的题，应该也有初中级别的解法，不过懒得去找|||- -

于是直接进行暴力求解

（1）

∠BAD = 180° - 80° - 80° = 20° =>

∠BAD = ∠ABD =>

AD = BD

（2）

∠BEC = 180° - 80° - 50° = 50° =>

∠BEC =∠BCE =>

BC = BE

（3）

为了简便起见，我们假设

AB = AC = m

另外，由于后续涉及到正弦和余弦计算，故统一改用弧度

∠ADB = π - π/9 - π/9 = 7π/9

设∠EDB = x， 则

∠BED = π - π/9 - x = 8π/9 - x

（4）

对三角形ABC使用正弦定理，可知

sin∠ABC / AC = sin∠BAC / BC

由于AC=m，故

BC = BE

= m * sin（π/9） / sin（4π/9）

（5）

对三角形ABD使用正弦定理，可知

sin∠ADB / AB = sin∠ABD / AD

由于AB = m，故

AD = BD

= m * sin（π/9） / sin（7π/9）

（6）

对三角形BDE使用正弦定理，可知

sin∠BDE / BE = sin∠BED / BD

结合（1）（2）（3）（4）（5），即可以得到

sin （x） / （m * sin（π/9） / sin（4π/9）） =

sin（8π/9 - x） / （m * sin（π/9） / sin（7π/9））

整理一下得到

sin（4π/9）* sin（x） = sin（7π/9）* sin（8π/9 - x）

再利用两角和公式把sin（8π/9 - x）展开，得到

sin（4π/9）* sin（x） = sin（7π/9）* （sin（8π/9）cos（x） - cos（8π/9）sin（x））

把sin（x）的项移到左边，cos（x）的项移到右边，得到

sin（x）* （sin（4π/9）+ cos（8π/9）） = cos（x）sin（7π/9）sin（8π/9）

tan（x） = sin（7π/9）sin（8π/9）/ （sin（4π/9）+ cos（8π/9））

（7）

如果此时直接把结果写成arctan XXX，貌似也不能算错。

不过在这个场景下，结果还可以继续化简。

tan（x） = sin（7π/9）sin（8π/9）/ （sin（4π/9）+ cos（8π/9））

= sin（π - 2π/9）sin（π - π/9）/ （sin（4π/9）+ sin（π - 2π/9）cos（π - π/9））

利用 sin（π - α）= sin（α），以及 cos（π - α）= - cos（α），可以得到

tan（x）= sin（2π/9）sin（π/9）/ （sin（4π/9）- sin（2π/9） cos（π/9））

（8）

以下需要用到一些小技巧，核心思想是把结果尽可能地用π/3或者π/6来表示，

由于π/3（60°）和π/6（30°）的正弦和余弦值是要求背出来的，就能达到化简的目的。

为了简便起见，令α = π/9，则

2α = 2π/9 = π/3 - π/9 = π/3 - α

4π/9 = π/3 + π/9 = π/3 + α

于是（7）中的式子化为：

tan（x）= sin（π/3 - α） sin（α）/ （sin（π/3 + α）- sin（π/3 - α）cos（α））

利用两角和公式将其展开，得到

tan（x）= （√3/2 * sin（α）cos（α）- 1/2 * sin^2（α）） / （√3/2 * cos（α）+ 1/2 * sin（α） -  √3/2 * cos^2（α）+ 1/2 * sin（α） cos（α））

其中二次项sin^2（α）、cos^2（α）和 sin（α） cos（α），分别用降幂公式和二倍角公式化成2α形式，再用2α = π/3 - α去代换如下：

sin^2（α） = （1 -  cos（2α））/ 2 = （1 -  cos（π/3 - α））/ 2 = 1/2 - 1/4 *  cos（α） - √3/4 * sin（α）

cos^2（α） = （1 +  cos（2α））/ 2 = （1 +  cos（π/3 - α））/ 2 = 1/2 + 1/4 *  cos（α） + √3/4 * sin（α）

sin（α） cos（α） = sin（2α）/ 2 = sin（π/3 - α）/ 2 = √3/4 * cos（α）- 1/4 *  sin（α）

把这三个结果代入，再合并同类项，得到

tan（x） = （3/8 * cos（α）- √3/8 * sin（α） - 1/4 + 1/8 *  cos（α）+ √3/8 * sin（α）） / （√3/2 * cos（α）+ 1/2 * sin（α） -  √3/4 -  √3/8 * cos（α） - 3/8 * sin（α）+ √3/8 *  cos（α） - 1/8 * sin（α））

= （1/2 * cos（α）- 1/4） / （√3/2 * cos（α）-  √3/4）

= （（1/4） * （2 * cos（α）- 1）） / （（√3/4）*（2 * cos（α）-  1））

非常凑巧，这个除法式子里面，恰好可以上下同时约掉一个2 * cos（α）- 1

于是得到

tan（x） = 1/√3 = √3/3

稍微有点基础的同学们应该一眼就可以看出，

x = π/6 ， 也就是30°

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小结：

此题主要的知识点有：

（1）最基本的初中几何知识；

（2）正弦定理；

（3）两角和公式，包括积化和差、和差化积、二倍角等；

（4）降幂公式；

（5）常见角（如π/3和π/6）的正弦、余弦、正切等值；

（6）遇到正弦、余弦不太好表示的角，想办法将其转化成与常见角的和差关系；