先送大家一首歌吧，另外祝今天中考学子旗开得胜

导数之三角函数导数综合题型(1)

对于我来说，一开始接触三角函数的导数题简直是导数题的另类——求导觉得麻烦、放缩觉得奇怪，不过经过一些题目的练习之后，似乎有了一些思路，下面通过题目来展现

今天我想展示我对三角函数的主要理解，明天则是一些补充部分

做做吧，少年

做做吧，少年

做做吧，少年

(分割线是为了把题目和解析分开，因为不做一下题目，往往不能深入体会解析的妙处)

好，开始今天的解析：

今天题目的解析一看答案便能理解，所以答案将在最后放出，做完题目的人可以直接划到末尾去看答案，不过我想先在这里阐明一下我的观点

重要程度：(当然求导的基本功必不可少，虽然tanx这类函数在高考中不太可能会考)

1. 画图以及求导

2. 三角函数的有界性，单调性，周期性等函数特殊性质

3. 放缩

基本上会这三点，我就有自信做对题目

画图

画图为什么要特殊强调，因为在我看来，做一道函数导数题不画一下图，便较难抓住其本质，虽然我们会画的图实在不多——一次、二次乃至三次函数，指数对数和一些简单的超越函数(如果你有总结的话，可以直接画出)，三角函数等，但既然三角函数比较好画，尤其是导数题并不会考特别难画的三角函数，如果你能通过画图就能解决一些问题的话，那何乐而不为呢？(画图画图画图，重要的事情说三遍)

下面来道例题

极值问题我们之后会有专题，不过这不在今天的叙述重点以内，所以第一问自证——求两次导易证。

但第二道似乎会受第一道题目的惯性而尝试通过求导来解决问题，但如果认真观察原函数的话，其实可以把原函数分为两个函数，那么零点问题就可以转化为交点问题。

这个画图并不难，主要是通过三角函数的最大值和最小值处来确定大概图像，几何画板画图如图，易发现两个函数在原点处有交点，之后代一下π〡2和π容易由零点定理发现其区间有交点，那么两个交点已经找到，接下来只需证π到正无穷和(-1,0)处没有交点即可，π到正无穷只要证明三角函数的第二个高峰处(即5|2π处)在ln(x+1)下方即可(相信不难理解，因为函数通过画图就可以大概了解到两函数在π之后应该没有切线，那么若有交点则ln(x+1)必须穿过sinx的第二个高峰，同时ln(x+1)在x=2时便已经大于1，那么由三角函数有界性便可以帮忙证明ln(x+1)在π之后便一直在sinx的上方，原谅我这么啰嗦的叙述，想必你已经明白，画图确实能给人直觉)，至于(-1，0)，你可以由画图发现sinx应该是在ln(x+1)的上方，那么转化为证明sinx-ln(x+1)>0在(-1,0)上恒成立即可，之后就是求导、端点效应的事

啰啰嗦嗦说了这么一大堆，无非就是想说简单的图像分离和画图会相当直观，这个很基础，所以不要忽略画一画图所能带来的效用。

利用三角函数的特点

三角函数的特点其实在图像上便能明显地体现出来，也正是这些特点让画图变得轻松并使关注点很容易找到(正如上面说的k|2π的一些点)，不过我想重点说明一下有界性和换元

今天的每日一题第二题

由上面，不妨画一下图，易知有三个零点，那么思路应该会比较清晰

但第二问就没那么友善了，相当于

cos(2sinx)是什么东西？这个几乎不可能画出来(当然我有几何画板，还是可以感受一下的)

不会画图，怎么玩？先别急着放缩，因为放缩是有条件的——sinx

可能你已经会证了，那我很高兴这一道题给了你一种新的思路——有时候三角函数可以换元试试，理清x到t对应关系即可(当然求零点的题目不建议这么做，因为对应关系实际上加大了难度，但不等式不妨试试这么来一下)

下面直接给答案(非原创，侵删)

解法很多，交给你们自己理解了(分参还是不分参、变形和放缩自己体会一下吧，解析思想还是很丰富的。)

放缩

先给出放缩的几个基本不等式吧。

但实际上我只见过第一个发挥过用处，第二个第三个有意者记一下吧。

这一模块对应的便是第一题了。

有一说一，这题第一问都有点麻烦。

当a=0和a=-π时几何画板画图如图(代a=0应该不难想，有其图像很容易想到应该要代a=-π)，通过图像可能比较直观，显然a应该具有一定的周期性，以a=0而言，看上去只能往左移而不能往右移动(往右移一点点显然有交点)，不过通过画图，你应该对于解析有更明确地认识了，我不想对解析有更多解释，不过确实收获一个新的放缩不等式

事实上，如果讲多一点的话，有

把这个记住，以后会说明

至于第二问，就到了我们放缩的重头戏了(原创证法)

解析是先求导证“唯一”，这个思路很直接，但既然找到了隐零点等式，我们完全可以把隐零点等式用一下

有

那么有

cosx0可视为sin(π|2-x0)，那么由sinx

和-sinx0>x0

那么显然得证(有一说一，编这些公式好累啊)

答案的剩余部分相对麻烦一些

大部分三角函数的不等式都涉及放缩，由上你已经发现了，除了掌握一般的不等式外，掌握一下变形的技巧也是不错的选择。

我讲的内容实际上只是三角函数导数题目的一小部分，实际上每道题各有特点，要想有足够多的经验还得多去做题。

希望上面对你有所帮助。

今天就到这里，再见ヾ(￣▽￣)Bye~Bye~

答案(只是上面的复现)

第一题

第二题

JCIA研习社，知识的搬运工，每天分享一个较偏较难的小知识点，愿对你有所帮助。

7.20 暑假每日一题第二天 DK