1. BM3D 算法简介

BM3D是2007年TIP的文章，题目是Image denoising by sparse 3D transform-domain collaborative ltering，论文、项目的地址是http://www.cs.tut.fi/~foi/GCF-BM3D/，提供matlab代码。
处理灰度图的BM3D以及它的变体CBM3D（彩色图）、VBM3D（时域）是图像去噪领域公认的去噪效果（PSNR）最好的，而BM4D、VBM4D等也都是沿袭BM3D的基于块处理（block-wise estimate）的思想，但其计算时间复杂度极大，或许只能用于离线处理（offline），当然后续有文章进行优化（代码、算法），这里就不再提及。

2. 算法流程介绍

算法总体流程如图：

主要分为以下两大步：

第一步，基础估计：

1、对于每个目标图块，在附近寻找最多MAXN1（超参数）个相似的图块，为了避免噪点的影响，将图块经过2D变换（代码中使用DCT变换）后再用欧氏距离衡量相似程度。按距离从小到大排序后取最多前MAXN1个。叠成一个三维数组。

2、对3D数组的第三维，即图块叠起来后，每个图块同一个位置的像素点构成的数组，进行DCT变换后，采用硬阈值的方式将小于超参数 [公式] 的成分置为0。同时统计非零成分的数量作为后续权重的参考。后将第三维进行逆变换。

为什么要这么做？
传统方法，如NLM，由空域得到近似块，然后对近似块的每个像素一一对应去平均，作为目标块每个像素的值。但是，上述策略对于如下场景并不合适：

i. 某些相似块拥有的噪声更小，相比其它相似块，该块的“权重”应更大，而不是简单取平均
ii. 相似块图像信息冗余，从空域上看，两个有重叠区域的相似块，简单平均会造成目标块信息重复。

因此采用“Collaborative ltering by shrinkage in transform domain”的方式，能够加强相似块的稀疏性，同时降低相似块的噪声。

3、将这些图块逆变换后放回原位，利用非零成分数量统计叠加权重，最后将叠放后的图除以每个点的权重就得到基础估计的图像，此时图像的噪点得到了较大的去除。

第二步，最终估计：

1、由于基础估计极大地消除了噪点，对于含噪原图的每个目标图块，可以直接用对应基础估计图块的欧氏距离衡量相似程度。按距离从小到大排序后取最多前MAXN1个。将基础估计图块、含噪原图图块分别叠成两个三维数组。

2、对含基础估计3D数组的第三维，即图块叠起来后，每个图块同一个位置的像素点构成的数组，进行DCT变换，利用如下公式得到系数。

3、将系数与含噪3D图块相乘放回原处，最后做加权平均调整即可得到最终估计图。相对于基础估计图，还原了更多原图的细节。

3. 加速

在实际操作中，为加快BM3D的计算速度，在寻找相似块的步骤后，得到的块实际上已经进行了2D变换处理，然后再加上一个1D变换（文中使用1D-Haar离散小波变换），成为3D变换，使用2D+1D的变换方法替代直接3D变换。

4. 难点

文中提到的2D变换与各种超参数，并没有一个确定值，对于真实视频去噪，使用的2D变换与超参数可能与文章实验设置不同，因此需要进行微调，也就是需要大量实验的积累。

最终的去噪结果如下图所示，可以发现，噪声被很好地去除了，图像边缘保留完整，图像纹理得到了很好的还原。

但这些都是自行添加高斯白噪声产生的测试图像，若实际运用在图像降噪中，原始图像不会有这么多噪声，因此就不需要BM3D两步去噪。那么可以将BM3D的两步拆开，采用前步的硬阈值、2D变换寻找相似块、1D变换升至3D域再加权平均，或后步直接使用维纳滤波，或许就已经有很好的效果了。

4. C-BM3D

针对彩色图，本文将图像的RGB色彩空间转换为YUV色彩空间，因为YUV的Y分量拥有较其余分量更多的图像信息（边缘、材质、纹理等），并且拥有更高的SNR（信噪比），而U、V分量拥有更多的低频信息。
因此对于C-BM3D，本文使用Y分量搜寻相似块，U、V分量使用Y分量的相似块位置信息。

可以仿照他转换色彩空间、从Y分量搜索相似块的方法，来对彩色图像进行降噪处理。

5. VBM3D

对于视频去噪，一是可以将视频转化为单帧图像，然后使用图像去噪算法对单帧进行处理，然后融合还原成已去噪的视频；二是根据视频前后帧信息，某个像素点，前帧没有噪声，或噪声较少，那么就可以作为后帧的值，但视频中物体是运动的，如果按前后帧的同一位置的像素处理是不合理的，因此会引入运动补偿、跟踪的算法，对于实时处理来说，条件就有点苛刻。

VBM3D不含运动补偿，对中间帧的目标块搜索相似块，搜索对象是前后帧与中间帧，提出了predictive-search block-matching（PS-BM），用于前后帧的相似块搜索。具体而言，PS-BM，先以中间帧的目标块为中心、搜索半径NS的区域寻找相似块，然后在该块对应的前后帧的位置为中心、搜索半径NPR的区域寻找相似块，中间帧、前后帧的相似块构成块集合。其余步骤与BM3D无异。

6. 代码实现

# -*- coding: utf-8 -*-
"""
*BM3D算法简单实现,主要程序部分
"""
import cv2
import numpy
import math
import numpy.matlibcv2.setUseOptimized(True)# Parameters initialization
sigma = 25
Threshold_Hard3D = 2.7 * sigma  # Threshold for Hard ThresholdingStep1_Blk_Size = 4  # block_Size即块的大小
Step1_Blk_Step = 1  # Rather than sliding by one pixel to every next reference block, use a step of Nstep pixels in both horizontal and vertical directions.
Step1_Search_Step = 1  # 块的搜索step
First_Match_threshold = 125 * Step1_Blk_Size ** 2  # 用于计算block之间相似度的阈值
Step1_max_matched_cnt = 16  # 组最大匹配的块数
Step1_Search_Window = 15  # Search for candidate matching blocks in a local neighborhood of restricted size NS*NS centeredStep2_Blk_Size = 4
Step2_Blk_Step = 1
Step2_Search_Step = 1
Second_Match_threshold = 220. / 16 * Step2_Blk_Size ** 2  # 用于计算block之间相似度的阈值
Step2_max_matched_cnt = 32
Step2_Search_Window = 25Beta_Kaiser = 1.5def init(img, _blk_size, _Beta_Kaiser):"""该函数用于初始化，返回用于记录过滤后图像以及权重的数组,还有构造凯撒窗"""m_shape = img.shapem_img = numpy.matrix(numpy.zeros(m_shape, dtype=float))m_wight = numpy.matrix(numpy.zeros(m_shape, dtype=float))# 窗函数(window function)是一种除在给定区间之外取值均为0的实函数K = numpy.matrix(numpy.kaiser(_blk_size, _Beta_Kaiser))m_Kaiser = numpy.array(K.T * K)  # 构造一个凯撒窗# 窗函数：https://zh.wikipedia.org/wiki/窗函数#Kaiser窗# print m_Kaiser, type(m_Kaiser), m_Kaiser.shape# cv2.imshow("Kaisser", m_Kaiser)# cv2.waitKey(0)# cv2.imwrite("Kaisser.jpg", m_Kaiser.astype(numpy.uint8))return m_img, m_wight, m_Kaiserdef Locate_blk(i, j, blk_step, block_Size, width, height):'''该函数用于保证当前的blk不超出图像范围'''if i * blk_step + block_Size < width:point_x = i * blk_stepelse:point_x = width - block_Sizeif j * blk_step + block_Size < height:point_y = j * blk_stepelse:point_y = height - block_Sizem_blockPoint = numpy.array((point_x, point_y), dtype=int)  # 当前参考图像的顶点return m_blockPointdef Define_SearchWindow(_noisyImg, _BlockPoint, _WindowSize, Blk_Size):"""该函数利用block的左上顶点的位置返回一个二元组（x,y）用以界定_Search_Window左上角顶点坐标"""point_x = _BlockPoint[0]  # 当前坐标point_y = _BlockPoint[1]  # 当前坐标# 获得SearchWindow四个顶点的坐标LX = point_x + Blk_Size / 2 - _WindowSize / 2  # 左上xLY = point_y + Blk_Size / 2 - _WindowSize / 2  # 左上yRX = LX + _WindowSize  # 右下xRY = LY + _WindowSize  # 右下y# 判断一下是否越界if LX < 0:LX = 0elif RX > _noisyImg.shape[0]:LX = _noisyImg.shape[0] - _WindowSizeif LY < 0:LY = 0elif RY > _noisyImg.shape[0]:LY = _noisyImg.shape[0] - _WindowSizereturn numpy.array((LX, LY), dtype=int)def Step1_fast_match(_noisyImg, _BlockPoint):"""快速匹配"""'''*返回邻域内寻找和当前_block相似度最高的几个block,返回的数组中包含本身*_noisyImg:噪声图像*_BlockPoint:当前block的坐标及大小'''(present_x, present_y) = _BlockPoint  # 当前坐标Blk_Size = Step1_Blk_SizeSearch_Step = Step1_Search_StepThreshold = First_Match_thresholdmax_matched = Step1_max_matched_cntWindow_size = Step1_Search_Windowblk_positions = numpy.zeros((max_matched, 2), dtype=int)  # 用于记录相似blk的位置Final_similar_blocks = numpy.zeros((max_matched, Blk_Size, Blk_Size), dtype=float)  # 用于保存最后结果img = _noisyImg[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]dct_img = cv2.dct(img.astype(numpy.float64))  # 对目标作block作二维余弦变换Final_similar_blocks[0, :, :] = dct_img  # 保存变换后的目标块blk_positions[0, :] = _BlockPointWindow_location = Define_SearchWindow(_noisyImg, _BlockPoint, Window_size, Blk_Size)blk_num = (Window_size - Blk_Size) / Search_Step  # 确定最多可以找到多少相似blkblk_num = int(blk_num)(present_x, present_y) = Window_locationsimilar_blocks = numpy.zeros((blk_num ** 2, Blk_Size, Blk_Size), dtype=float)m_Blkpositions = numpy.zeros((blk_num ** 2, 2), dtype=int)Distances = numpy.zeros(blk_num ** 2, dtype=float)  # 记录各个blk与它的相似度# 开始在_Search_Window中搜索,初始版本先采用遍历搜索策略,这里返回最相似的几块matched_cnt = 0for i in range(blk_num):for j in range(blk_num):tem_img = _noisyImg[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]dct_Tem_img = cv2.dct(tem_img.astype(numpy.float64))# 先对块进行dct变换再求l2-norm，寻找相似块，降低噪点的干扰m_Distance = numpy.linalg.norm((dct_img - dct_Tem_img)) ** 2 / (Blk_Size ** 2)# 下面记录数据自动不考虑自身(因为已经记录)if m_Distance < Threshold and m_Distance > 0:  # 说明找到了一块符合要求的similar_blocks[matched_cnt, :, :] = dct_Tem_imgm_Blkpositions[matched_cnt, :] = (present_x, present_y)Distances[matched_cnt] = m_Distancematched_cnt += 1present_y += Search_Steppresent_x += Search_Steppresent_y = Window_location[1]  # 搜索窗的行# 取前matched_cnt个块Distances = Distances[:matched_cnt]# 对distance进行排序，找到对应顺序的序号# numpy.argsort() 的用法：# https://docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/numpy.argsort.htmlSort = Distances.argsort()# 统计一下找到了多少相似的blkif matched_cnt < max_matched:Count = matched_cnt + 1else:Count = max_matched# 将前matched_cnt个块放入Final_similar_blocks，左上坐标信息保存在lk_positionsif Count > 0:for i in range(1, Count):Final_similar_blocks[i, :, :] = similar_blocks[Sort[i - 1], :, :]blk_positions[i, :] = m_Blkpositions[Sort[i - 1], :]return Final_similar_blocks, blk_positions, Countdef Step1_3DFiltering(_similar_blocks):'''*3D变换及滤波处理*_similar_blocks:相似的一组block,这里已经是频域的表示*要将_similar_blocks第三维依次取出,然在频域用阈值滤波之后,再作反变换'''statis_nonzero = 0  # 非零元素个数m_Shape = _similar_blocks.shape# 下面这一段代码很耗时for i in range(m_Shape[1]):for j in range(m_Shape[2]):# print _similar_blocks[:, i, j], type(_similar_blocks[:, i, j])tem_Vct_Trans = cv2.dct(_similar_blocks[:, i, j])# 硬阈值变换，去掉较小的频率成分tem_Vct_Trans[numpy.abs(tem_Vct_Trans[:]) < Threshold_Hard3D] = 0.statis_nonzero += tem_Vct_Trans.nonzero()[0].size_similar_blocks[:, i, j] = cv2.idct(tem_Vct_Trans)[0]return _similar_blocks, statis_nonzerodef Aggregation_hardthreshold(_similar_blocks, blk_positions, m_basic_img, m_wight_img, _nonzero_num, Count, Kaiser):'''*对3D变换及滤波后输出的stack进行加权累加,得到初步滤波的图片*_similar_blocks:相似的一组block,这里是频域的表示*对这些块，用非零项的权重乘以凯撒窗之后再分别放回原位'''_shape = _similar_blocks.shapeif _nonzero_num < 1:_nonzero_num = 1block_wight = (1. / (sigma ** 2 * _nonzero_num)) * Kaiserfor i in range(Count):point = blk_positions[i, :]tem_img = block_wight * cv2.idct(_similar_blocks[i, :, :])m_basic_img[point[0]:point[0] + _shape[1], point[1]:point[1] + _shape[2]] += tem_imgm_wight_img[point[0]:point[0] + _shape[1], point[1]:point[1] + _shape[2]] += block_wightdef BM3D_1st_step(_noisyImg):"""第一步,基本去噪"""# 初始化一些参数：(width, height) = _noisyImg.shape  # width = row, height = colblock_Size = Step1_Blk_Size  # 块大小blk_step = Step1_Blk_Step  # N块步长滑动# 根据步长确定搜索的次数Width_num = (width - block_Size) / blk_stepHeight_num = (height - block_Size) / blk_step# 初始化几个数组# 空图像、空权重表、凯撒窗Basic_img, m_Wight, m_Kaiser = init(_noisyImg, Step1_Blk_Size, Beta_Kaiser)# 开始逐block的处理,+2是为了避免边缘上不够for i in range(int(Width_num + 2)):for j in range(int(Height_num + 2)):# m_blockPoint当前参考图像的左上角顶点m_blockPoint = Locate_blk(i, j, blk_step, block_Size, width, height)  # 该函数用于保证当前的blk不超出图像范围Similar_Blks, Positions, Count = Step1_fast_match(_noisyImg, m_blockPoint)  # 相似块集合、相似块位置、相似块数量Similar_Blks, statis_nonzero = Step1_3DFiltering(Similar_Blks)  # 协同过滤后的相似块集合、非零项数量Aggregation_hardthreshold(Similar_Blks, Positions, Basic_img, m_Wight, statis_nonzero, Count, m_Kaiser)Basic_img[:, :] /= m_Wight[:, :]basic = numpy.matrix(Basic_img, dtype=int)basic.astype(numpy.uint8)return basicdef Step2_fast_match(_Basic_img, _noisyImg, _BlockPoint):'''*快速匹配算法,返回邻域内寻找和当前_block相似度最高的几个block,要同时返回basicImg和IMG*_Basic_img: 基础去噪之后的图像*_noisyImg:噪声图像*_BlockPoint:当前block的坐标及大小'''(present_x, present_y) = _BlockPoint  # 当前坐标Blk_Size = Step2_Blk_SizeThreshold = Second_Match_thresholdSearch_Step = Step2_Search_Stepmax_matched = Step2_max_matched_cntWindow_size = Step2_Search_Windowblk_positions = numpy.zeros((max_matched, 2), dtype=int)  # 用于记录相似blk的位置Final_similar_blocks = numpy.zeros((max_matched, Blk_Size, Blk_Size), dtype=float)Final_noisy_blocks = numpy.zeros((max_matched, Blk_Size, Blk_Size), dtype=float)img = _Basic_img[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]dct_img = cv2.dct(img.astype(numpy.float32))  # 对目标作block作二维余弦变换Final_similar_blocks[0, :, :] = dct_imgn_img = _noisyImg[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]dct_n_img = cv2.dct(n_img.astype(numpy.float32))  # 对目标作block作二维余弦变换Final_noisy_blocks[0, :, :] = dct_n_imgblk_positions[0, :] = _BlockPointWindow_location = Define_SearchWindow(_noisyImg, _BlockPoint, Window_size, Blk_Size)blk_num = (Window_size - Blk_Size) / Search_Step  # 确定最多可以找到多少相似blkblk_num = int(blk_num)(present_x, present_y) = Window_locationsimilar_blocks = numpy.zeros((blk_num ** 2, Blk_Size, Blk_Size), dtype=float)m_Blkpositions = numpy.zeros((blk_num ** 2, 2), dtype=int)Distances = numpy.zeros(blk_num ** 2, dtype=float)  # 记录各个blk与它的相似度# 开始在_Search_Window中搜索,初始版本先采用遍历搜索策略,这里返回最相似的几块matched_cnt = 0for i in range(blk_num):for j in range(blk_num):tem_img = _Basic_img[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]# dct_Tem_img = cv2.dct(tem_img.astype(numpy.float32))# m_Distance = numpy.linalg.norm((dct_img - dct_Tem_img)) ** 2 / (Blk_Size ** 2)m_Distance = numpy.linalg.norm((img - tem_img)) ** 2 / (Blk_Size ** 2)# 下面记录数据自动不考虑自身(因为已经记录)if m_Distance < Threshold and m_Distance > 0:dct_Tem_img = cv2.dct(tem_img.astype(numpy.float32))similar_blocks[matched_cnt, :, :] = dct_Tem_imgm_Blkpositions[matched_cnt, :] = (present_x, present_y)Distances[matched_cnt] = m_Distancematched_cnt += 1present_y += Search_Steppresent_x += Search_Steppresent_y = Window_location[1]Distances = Distances[:matched_cnt]Sort = Distances.argsort()# 统计一下找到了多少相似的blkif matched_cnt < max_matched:Count = matched_cnt + 1else:Count = max_matched# nosiy图像的3D Stack，利用第一步的Basic估计结果来构造if Count > 0:for i in range(1, Count):Final_similar_blocks[i, :, :] = similar_blocks[Sort[i - 1], :, :]blk_positions[i, :] = m_Blkpositions[Sort[i - 1], :](present_x, present_y) = m_Blkpositions[Sort[i - 1], :]n_img = _noisyImg[present_x: present_x + Blk_Size, present_y: present_y + Blk_Size]Final_noisy_blocks[i, :, :] = cv2.dct(n_img.astype(numpy.float64))return Final_similar_blocks, Final_noisy_blocks, blk_positions, Countdef Step2_3DFiltering(_Similar_Bscs, _Similar_Imgs):'''*3D维纳变换的协同滤波*_similar_blocks:相似的一组block,这里是频域的表示*要将_similar_blocks第三维依次取出,然后作dct,在频域进行维纳滤波之后,再作反变换*返回的Wiener_wight用于后面Aggregation'''m_Shape = _Similar_Bscs.shapeWiener_wight = numpy.zeros((m_Shape[1], m_Shape[2]), dtype=float)for i in range(m_Shape[1]):for j in range(m_Shape[2]):tem_vector = _Similar_Bscs[:, i, j]tem_Vct_Trans = numpy.matrix(cv2.dct(tem_vector))Norm_2 = numpy.float64(tem_Vct_Trans.T * tem_Vct_Trans)m_weight = Norm_2 / (Norm_2 + sigma ** 2)Wiener_wight[i, j] = m_weight#if m_weight != 0: Wiener_wight[i, j] = 1. / (m_weight ** 2 * sigma ** 2)# else:#     Wiener_wight[i, j] = 10000# RES=IDCT(WEIGHT(DCT(NOISE_BLOCK)))tem_vector = _Similar_Imgs[:, i, j]tem_Vct_Trans = m_weight * cv2.dct(tem_vector)_Similar_Bscs[:, i, j] = cv2.idct(tem_Vct_Trans)[0]return _Similar_Bscs, Wiener_wightdef Aggregation_Wiener(_Similar_Blks, _Wiener_wight, blk_positions, m_basic_img, m_wight_img, Count, Kaiser):'''*对3D变换及滤波后输出的stack进行加权累加,得到初步滤波的图片*_similar_blocks:相似的一组block,这里是频域的表示*对于最后的块，乘以凯撒窗之后再输出'''_shape = _Similar_Blks.shapeblock_wight = _Wiener_wight * Kaiserfor i in range(Count):point = blk_positions[i, :]tem_img = _Wiener_wight * cv2.idct(_Similar_Blks[i, :, :]) * Kaiserm_basic_img[point[0]:point[0] + _shape[1], point[1]:point[1] + _shape[2]] += tem_imgm_wight_img[point[0]:point[0] + _shape[1], point[1]:point[1] + _shape[2]] += block_wightdef BM3D_2nd_step(_basicImg, _noisyImg):'''Step 2. 最终的估计: 利用基本的估计，进行改进了的分组以及协同维纳滤波'''# 初始化一些参数：(width, height) = _noisyImg.shapeblock_Size = Step2_Blk_Sizeblk_step = Step2_Blk_StepWidth_num = (width - block_Size) / blk_stepHeight_num = (height - block_Size) / blk_step# 初始化几个数组m_img, m_Wight, m_Kaiser = init(_noisyImg, block_Size, Beta_Kaiser)for i in range(int(Width_num + 2)):for j in range(int(Height_num + 2)):m_blockPoint = Locate_blk(i, j, blk_step, block_Size, width, height)Similar_Blks, Similar_Imgs, Positions, Count = Step2_fast_match(_basicImg, _noisyImg, m_blockPoint)Similar_Blks, Wiener_wight = Step2_3DFiltering(Similar_Blks, Similar_Imgs)Aggregation_Wiener(Similar_Blks, Wiener_wight, Positions, m_img, m_Wight, Count, m_Kaiser)m_img[:, :] /= m_Wight[:, :]Final = numpy.matrix(m_img, dtype=int)Final.astype(numpy.uint8)return Finaldef Gauss_noise(img, sigma=25):noise = numpy.matlib.randn(img.shape) * sigmares = img + noisereturn resdef PSNR(img1, img2):D = numpy.array(img1 - img2, dtype=numpy.int64)D[:, :] = D[:, :] ** 2RMSE = D.sum() / img1.sizepsnr = 10 * math.log10(float(255. ** 2) / RMSE)return psnrif __name__ == '__main__':cv2.setUseOptimized(True)  # OpenCV 中的很多函数都被优化过（使用 SSE2，AVX 等）。也包含一些没有被优化的代码。使用函数 cv2.setUseOptimized() 来开启优化。img_name = "./len128*128.jpg"  # 图像的路径ori = cv2.imread(img_name, cv2.IMREAD_GRAYSCALE)  # 读入图像，cv2.IMREAD_GRAYSCALE:以灰度模式读入图像cv2.imwrite("ori.jpg", ori)img = Gauss_noise(ori)cv2.imwrite("noise.jpg", img)print 'The PSNR After add noise %f' % PSNR(ori, img)# 记录程序运行时间e1 = cv2.getTickCount()  # cv2.getTickCount 函数返回从参考点到这个函数被执行的时钟数# if(img is not None):#     print("success")Basic_img = BM3D_1st_step(img)e2 = cv2.getTickCount()time = (e2 - e1) / cv2.getTickFrequency()  # 计算函数执行时间print ("The Processing time of the First step is %f s" % time)cv2.imwrite("Basic3.jpg", Basic_img)print ("The PSNR between the two img of the First step is %f" % PSNR(ori, Basic_img))# Basic_img = cv2.imread("Basic3.jpg", cv2.IMREAD_GRAYSCALE)Final_img = BM3D_2nd_step(Basic_img, img)e3 = cv2.getTickCount()time = (e3 - e2) / cv2.getTickFrequency()print ("The Processing time of the Second step is %f s" % time)cv2.imwrite("Final3.jpg", Final_img)print ("The PSNR between the two img of the Second step is %f" % PSNR(ori, Final_img))time = (e3 - e1) / cv2.getTickFrequency()print ("The total Processing time is %f s" % time)

补充C++代码：https://github.com/gfacciol/bm3d

7. 最后

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