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研究

解线性方程组的SOR迭代法及其MATLAB实现

王国婷

(阳泉市统计局，山西阳泉 045000)

摘要：本文利用SOR迭代法求解了线性方程组，并在Maflab上实现线性方程组求解的数值模拟。结果表明在

选取适当的松弛因子后，SOR迭代法具有收敛速度快，收敛效果好的优点。

关键词：方程组；迭代解法；MATLAB

中图分类号：0241．6 文献标识码：A 文章编号：1674-7712(2014)14—0213—02

科学研究与制造实践中大量问题都可化解为线性方程 x=M～x+~rb‘ (1．3)

组的解答，有效求解线性方程组成为了一些科学与工程计假设某一初始向量X ，得到迭代格式：

算的中心，科学与工程计算的一些主要领域，如计算流体 X =Bx( x+f

力学、材料模拟与设计、电磁场学说、电力系统优化设计、其中B成为迭代矩阵。

数值天气预报及核爆数值比拟等最终往往化解为解一个或假如得到的迭代序列 (X㈩ )收敛到一个确定的向量

一些大型稀疏矩阵的方程组的求解问题，解答线性方程组 X，那么X就是原方程组的解。

成为计算数学中数值代数探讨的中心之一。与直接法比较，设线性方程组为：

迭代法仅仅存储原系数矩阵、对应于预处理的某些辅助矩

阵与少量几个向量，且迭代中除解答辅助线性方程组外， ∑“，=，il，2，…，，z (1．4)

剩下的计算重点是系数矩阵与向量的乘积，可以充分利用

系数矩阵的特性来减少计算量研究这一重要内容需借助其中aij≠0，i=l，2，…，n

Matlab来运行。由上述推到过程，得到迭代公式

线性方程组Ax：b是我们在科学和生产应用中不断产生

的数学模型，对它的求解我们最常用的就是主元消去法，但：= (一∑ ．，”+)／，12一， (1．5)

J l

它仅仅适合于A是低价稠密的矩阵，而在生活生产中产生的

大型稀疏矩阵方程组 (即A的阶数n很大，因有大量的零元其中k=O，1，2… (以下k的意义均是如此)。

素，举例求一些偏微分方程数值解所得到的线性方程组，设初始向量：

X 。= (l。‘， 2。‘，…，x 。‘)

n≥104)，需要应用迭代法求解。 n

常见的迭代法有 Jacobi迭代法 Gauss、Seidel迭代由式 (1．5)，得出：

法，为改善迭代法的收敛性和收敛速度，Hadjidiomstll ‘

于 1978年提出一种快速超松弛迭代法，以及并行计算机的 =(一∑a~iXj‘“一∑ ，㈨十)／日i1，2，…，H(1．6)

、 In

发展，1983年MiSSirlistl1提出一种解线性方程组的方法，

再改写公式 (1．6)为：

称为并行 Jacobi型方法，它的突出好处是相称大型并行机

的解答。1992年胡家赣提出了两参并行的Jacobi型方法，

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