层次分析法是指将一个复杂的多目标决策问题作为一个系统，将目标分解为多个目标或准则，进而分解为多指标（或准则、约束）的若干层次，通过定性指标模糊量化方法算出层次单排序（权数）和总排序，以作为目标（多指标）、多方案优化决策的系统方法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。

层次分析法具体步骤：

1.建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。最高层是指决策的目的、要解决的问题。最低层是指决策时的备选方案。中间层是指考虑的因素、决策的准则。对于相邻的两层，称高层为目标层，低层为因素层。

2.构造判断(成对比较)矩阵

在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy等人提出一致矩阵法，即不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较，对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，以提高准确度。

重要性比较结果，表1列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵称作判断矩阵。判断矩阵具有如下性质：

Aij度量方法：

3.层次单排序及其一致性检验

对应于判断矩阵最大特征根λ的特征向量，经归一化(使向量中各元素之和等于1)后记为W。W的元素为同一层次因素对于上一层次因素某因素相对重要性的排序权值，这一过程称为层次单排序。能否确认层次单排序，则需要进行一致性检验，所谓一致性检验是指对A确定不一致的允许范围。其中，n阶一致阵的唯一非零特征根为n；n 阶正互反阵A的最大特征根λ≥n，当且仅当λ=n时，A为一直矩阵，由于λ的连续依赖于aij,则λ 比n 大的越多，A的不一致性越严重，一致性指标用CI计算，CI越小，说明一致性越大。用最大特征值对应的特征向量作为被比较因素对上层某因素影响程度的权向量，其不一致程度越大，引起的判断误差越大。因而可以用 λ-n 数值的大小来衡量A 的不一致程度。定义一致性指标为：

CI=0，有完全的一致性；CI 接近于0，有满意的一致性；CI 越大，不一致越严重。

为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI：

其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表2：

考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI和随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，公式如下：

一般，如果CR<0.1 ，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。

4.层次总排序及其一致性检验

计算某一层次所有因素对于最高层(总目标)相对重要性的权值，称为层次总排序。这一过程是从最高层次到最低层次依次进行的。

5 算法举例

算法举例：(成对矩阵中的值均需要人为按经验填写。)

第一步：建立层次结构

从苏州、杭州桂林三个城市选择一个城市去旅游。考虑的因素为景色、费用、居住、饮食、旅游5个因素。如下图所示：

第二步：构造成对比较矩阵

(注：矩阵中的各个元素均需要人为按经验填写)

第三步：层次单排序及一致性检验

求该矩阵的最大特征值及其对应的最大特征向量

A的最大特征值为λ=5.037，归一化后的特征向量W={0.263，0.475，0.055，0.099，0.110}

进行一致性检验

A通过了一次性验证，结果是可行的。

第四步：层次总排序及一次性检验

与此类似，求出方案层中各方案的成对比较矩阵

对每个成对矩阵汇总并进行一致性检验。

全部通过。计算每个方案对最终目标的权重：

B3对应的值最大，所以去桂林方案最佳。

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