车辆控制-稳态误差分析-前馈

文章目录

概述
前馈
- 拉普拉斯变换
- 稳态跟踪误差
- 前馈转向角
- 稳态转向角
总结

概述

由于状态反馈下的闭环横向控制系统仍然存在稳态误差，本文主要分析稳态误差产生的原因，并尝试使用前馈项将稳态误差减小为0。

前馈

根据状态反馈下的状态空间模型
x˙=(A−B1K)x+B2ψ˙des(1)\dot{x} = (A - B_1K)x + B_2\dot{\psi}_{des} \tag{1} x˙=(A−B1K)x+B2ψ˙des(1)
由于B2ψ˙desB_2\dot{\psi}_{des}B2ψ˙des项的存在，当车辆在圆弧路面上行驶，即使矩阵(A−B1K)(A - B_1K)(A−B1K)稳定，跟踪误差也无法达到0。下面探讨在弧线上时，添加到状态反馈中的前馈项是否对零状态误差有效。
假设转向控制由状态反馈加上一个尝试修正道路曲率的前馈项。
δ=−Kx+δff(2)\delta = -Kx + \delta_{ff} \tag{2} δ=−Kx+δff(2)
闭环控制系统如下：
x˙=(A−B1K)x+B1δff+B2ψ˙des(3)\dot{x} = (A - B_1K)x + B_1\delta_{ff} + B_2\dot{\psi}_{des} \tag{3} x˙=(A−B1K)x+B1δff+B2ψ˙des(3)

拉普拉斯变换

对等式(3)使用拉普拉斯变换(Laplace Transforms)，详见拉普拉斯变换-常微分方程，并假设初始状态为0，结果如下：
X(s)=[sI−(A−B1K)]−1{B1L(δff)+B2L(ψdes˙)}(4)X(s) = [sI-(A - B_1K)]^{-1}\{B_1L(\delta_{ff})+B_2L(\dot{\psi_{des}}) \} \tag{4} X(s)=[sI−(A−B1K)]−1{B1L(δff)+B2L(ψdes˙)}(4)
其中L(δff)L(\delta_{ff})L(δff)和L(ψdes˙)L(\dot{\psi_{des}})L(ψdes˙)是δff\delta_{ff}δff和ψdes˙\dot{\psi_{des}}ψdes˙相应的拉普拉斯变换。

如果车辆以恒定速度VxV_xVx行驶，且道路的曲率半径为RRR,则目标偏航角速度恒定为
ψ˙des=VxR(5)\dot{\psi}_{des} = \frac{V_x}{R} \tag{5} ψ˙des=RVx(5)
根据等式(5)，对应的拉普拉斯变换可以表述为
L(ψ˙des)=VxRs(6)L(\dot{\psi}_{des}) = \frac{V_x}{Rs} \tag{6} L(ψ˙des)=RsVx(6)
同理，如果前馈项δff\delta_{ff}δff恒定，则对应的拉普拉斯变换为
L(δff)=δffs(7)L(\delta_{ff}) = \frac{\delta_{ff}}{s} \tag{7} L(δff)=sδff(7)
将等式(6)和(7)带入等式(4)中得
X(s)=[sI−(A−B1K)]−1(B1δffs+B2VxRs)(8)X(s) = [sI-(A - B_1K)]^{-1}(B_1\frac{\delta_{ff}}{s}+ B_2\frac{V_x}{Rs}) \tag{8} X(s)=[sI−(A−B1K)]−1(B1sδff+B2RsVx)(8)

稳态跟踪误差

稳态跟踪误差可以表示为x(t)x(t)x(t)中，t→∞t \to\inftyt→∞时的数值，根据终值定理得
xss=lim⁡t→∞x(t)=lim⁡s→0sX(s)(9)x_{ss} = \lim_{t\to\infty}x(t)=\lim_{s\to0}sX(s) \tag{9} xss=t→∞limx(t)=s→0limsX(s)(9)
将等式(8)带入等式(9)得
xss=lim⁡s→0sX(s)=lim⁡s→0[sI−(A−B1K)]−1(B1δff+B2VxR)=−(A−B1K)−1(B1δff+B2VxR)(10)x_{ss} =\lim_{s\to0}sX(s) \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\\ =\lim_{s\to0}[sI-(A - B_1K)]^{-1}(B_1\delta_{ff}+B_2\frac{V_x}{R})\\ =-(A - B_1K)^{-1}(B_1\delta_{ff}+B_2\frac{V_x}{R})\qquad\quad\tag{10} xss=s→0limsX(s)=s→0lim[sI−(A−B1K)]−1(B1δff+B2RVx)=−(A−B1K)−1(B1δff+B2RVx)(10)

使用符号工具箱对等式(10)进行化简，这里使用Python的Sympy软件库进行化简得
xss=[(2CαfCαrRδfflf+2CαfCαrRδfflr+2CαfCαrk3lflr+2CαfCαrk3lr2−2CαfCαrlf2−4CαfCαrlflr−2CαfCαrlr2−CαfVx2k3lfm+CαfVx2lfm−CαrVx2lrm)2CαfCαrRk1(lf+lr)012CαrR(lf+lr)(−2Cαrlflr−2Cαrlr2+Vx2lfm)0](11)x_{ss} = \left[\begin{matrix}\dfrac{\left(2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} l_{f} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} l_{r} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} k_{3} l_{f} l_{r} + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} k_{3} l_{r}^{2} - 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{f}^{2} - 4 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} l_{r}^{2} - C_{\alpha f} V_{x}^{2} k_{3} l_{f} m + C_{\alpha f} V_{x}^{2} l_{f} m - C_{\alpha r} V_{x}^{2} l_{r} m\right)}{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\\0\\\dfrac{1}{2 C_{\alpha r} R \left(l_{f} + l_{r}\right)} \left(- 2 C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha r} l_{r}^{2} + V_{x}^{2} l_{f} m\right)\\0\end{matrix}\right] \tag{11} xss=⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎡2CαfCαrRk1(lf+lr)(2CαfCαrRδfflf+2CαfCαrRδfflr+2CαfCαrk3lflr+2CαfCαrk3lr2−2CαfCαrlf2−4CαfCαrlflr−2CαfCαrlr2−CαfVx2k3lfm+CαfVx2lfm−CαrVx2lrm)02CαrR(lf+lr)1(−2Cαrlflr−2Cαrlr2+Vx2lfm)0⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎤(11)
由等式(11)知，稳定状态下的横向误差eye_yey为
ey_ss=2CαfCαrRδff(lf+lr)+2CαfCαr(k3lflr+k3lr2−lf2−2lflr−lr2)−Vx2m(Cαfk3lf−Cαflf+Cαrlr)2CαfCαrRk1(lf+lr)(12)e_{y\_ss}= \frac{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R \delta_{ff} (l_{f} + l_{r}) + 2 C_{\alpha f} C_{\alpha r}( k_{3} l_{f} l_{r} + k_{3} l_{r}^{2} - l_{f}^{2} - 2 l_{f} l_{r} - l_{r}^{2}) - V_{x}^{2}m(C_{\alpha f} k_{3} l_{f} - C_{\alpha f} l_{f} + C_{\alpha r} l_{r} )}{2 C_{\alpha f} C_{\alpha r} R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)} \tag{12} ey_ss=2CαfCαrRk1(lf+lr)2CαfCαrRδff(lf+lr)+2CαfCαr(k3lflr+k3lr2−lf2−2lflr−lr2)−Vx2m(Cαfk3lf−Cαflf+Cαrlr)(12)
等式(12)提取δff\delta_{ff}δff项，并化简得
ey_ss=δffk1−(lf+lr)−k3lrRk1−Vx2m2Rk1(lf+lr)(k3lfCαr−lfCαr+lrCαf)(13)e_{y\_ss}= \frac{\delta_{ff}}{k_1} - \frac{ (l_{f}+l_{r})-k_{3}l_{r}}{R k_{1}} - \frac{V_{x}^{2}m}{2 R k_{1} \left(l_{f} + l_{r}\right)}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{13} ey_ss=k1δff−Rk1(lf+lr)−k3lr−2Rk1(lf+lr)Vx2m(Cαrk3lf−Cαrlf+Cαflr)(13)
同理，稳定下的偏航角误差eψe_{\psi}eψ为
eψ_ss=−2Cαrlflr−2Cαrlr2+Vx2lfm2CαrR(lf+lr)(14)e_{\psi\_ss} = \frac{- 2 C_{\alpha r} l_{f} l_{r} - 2 C_{\alpha r} l_{r}^{2} + V_{x}^{2} l_{f} m}{2 C_{\alpha r} R \left(l_{f} + l_{r}\right)} \tag{14} eψ_ss=2CαrR(lf+lr)−2Cαrlflr−2Cαrlr2+Vx2lfm(14)
等式(14)化简得
eψ_ss=−lrR+lf2Cαr(lf+lr)mVx2R(15)e_{\psi\_ss} = -\frac{l_r}{R} + \frac{ l_{f} }{2 C_{\alpha r} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\frac{ mV_{x}^{2}}{R} \tag{15} eψ_ss=−Rlr+2Cαr(lf+lr)lfRmVx2(15)
由等式(13)可知，当选择合适的δff\delta_{ff}δff时，可以使横向误差eye_yey为0。但是δff\delta_{ff}δff并不能影响稳定状态下的偏航误差。偏航角误差的状态稳定项，无论前馈转向角如何选择也无法别修正。

前馈转向角

当前馈转向角选择如下时，稳定状态下的横向误差ey_sse_{y\_ss}ey_ss可为0。
δff=(lf+lr)−k3lrR+mVx22R(lf+lr)(k3lfCαr−lfCαr+lrCαf)(16)\delta_{ff} = \frac{ (l_{f}+l_{r})-k_{3}l_{r}}{R} + \frac{mV_{x}^{2}}{2 R \left(l_{f} + l_{r}\right)}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{16} δff=R(lf+lr)−k3lr+2R(lf+lr)mVx2(Cαrk3lf−Cαrlf+Cαflr)(16)
由于L=lf+lrL=l_f + l_rL=lf+lr知，等式(16)可化简为
δff=LR−k3lrR+mVx22RL(k3lfCαr−lfCαr+lrCαf)(17)\delta_{ff} = \frac{ L}{R} - \frac{ k_{3}l_{r}}{R} + \frac{mV_{x}^{2}}{2 R L}(\frac{k_3l_f}{C_{\alpha r}} -\frac{l_f}{C_{\alpha r}} + \frac{l_r}{C_{\alpha f}}) \tag{17} δff=RL−Rk3lr+2RLmVx2(Cαrk3lf−Cαrlf+Cαflr)(17)
进一步观察等式(17)得
δff=LR+k3(−lrR+lf2CαrLmVx2R)+Vx2R(mlr2CαfL−mlf2CαrL)(18)\delta_{ff} = \frac{ L}{R} + k_{3}(-\frac{ l_{r}}{R} +\frac{l_f}{2C_{\alpha r}L}\frac{m{V_{x}}^{2}}{ R })+ \frac{{V_{x}}^{2}}{R }( \frac{ml_r}{2 C_{\alpha f}L} -\frac{ml_f}{2 C_{\alpha r}L}) \tag{18} δff=RL+k3(−Rlr+2CαrLlfRmVx2)+RVx2(2CαfLmlr−2CαrLmlf)(18)

其中 KV=mlr2CαfL−mlf2CαrLK_V = \dfrac{ml_r}{2 C_{\alpha f}L} -\dfrac{ml_f}{2 C_{\alpha r}L}KV=2CαfLmlr−2CαrLmlf表示转向不足增益，ay=Vx2Ra_y = \dfrac{{V_x}^2}{R}ay=RVx2表示车俩行驶过程中产生的向心加速度。
另外使用mf=mlrLm_f = m\dfrac{l_r}{L}mf=mLlr表示前轴所承受的部分车的质量，mr=mlfLm_r= m\dfrac{l_f}{L}mr=mLlf表示后轴所承受的部分车的质量，转向不足增益系数KVK_VKV可以表示为KV=mf2Cαf−mr2CαrK_V=\dfrac{m_f}{2C_{\alpha f}}-\dfrac{m_r}{2C_{\alpha r}}KV=2Cαfmf−2Cαrmr。
结合等式(15)，等式(18)最终可以表示为
δff=LR+k3eψ_ss+KVay(19)\delta_{ff} =\frac{ L}{R} +k_{3}e_{\psi\_ss}+ K_Va_y \tag{19}δff=RL+k3eψ_ss+KVay(19)

稳态转向角

根据稳定状态下的转向角为
δss=δff−Kxss(20)\delta_{ss} = \delta_{ff} - Kx_{ss} \tag{20} δss=δff−Kxss(20)
由于稳定状态下xssx_{ss}xss中，只有eψ_sse_{\psi\_ss}eψ_ss不为0，故
Kxss=[k1k2k3k4][00eψ_ss0]=k3eψ_ss(21)Kx_{ss} = \begin{bmatrix} k1 & k2 & k3 & k4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ e_{\psi\_ss}\\ 0 \end{bmatrix}=k_3e_{\psi\_ss} \tag{21} Kxss=[k1k2k3k4]⎣⎢⎢⎡00eψ_ss0⎦⎥⎥⎤=k3eψ_ss(21)
故将等式(21)和(19)带入(20)得
δss=LR+KVay(22)\delta_{ss} = \frac{ L}{R} + K_Va_y \tag{22}δss=RL+KVay(22)

总结

通过上述分析得，选取合适的前馈转向角δff\delta_{ff}δff可以使横向位置误差eye_yey达到0。但是稳定状态下的偏航角始终等于eψ_ss=−lrR+lf2Cαr(lf+lr)mVx2Re_{\psi\_ss}=-\dfrac{l_r}{R} + \dfrac{ l_{f} }{2 C_{\alpha r} \left(l_{f} + l_{r}\right)}\dfrac{ mV_{x}^{2}}{R}eψ_ss=−Rlr+2Cαr(lf+lr)lfRmVx2，且无法通过前馈转向角改变。