3505. 【NOIP2013模拟11.4A组】积木(brick)

(File IO): input:brick.in output:brick.out
Time Limits: 1000 ms Memory Limits: 262144 KB

Description

小A正在搭积木。有N个位置可以让小A使用，初始高度都为0。小A每次搭积木的时候，都会选定一个拥有相同高度的区间[A..B]，然后将位置[A+1..B-1]上的所有积木的高度加一。不幸的是，小A把积木搭好之后没多久，小A调皮的弟弟就将其中若干个位置上的积木弄倒了。小A想知道他原来的积木是如何摆放的，所以他求助于你，请你告诉他原来有多少种可能的摆法。

Input

第一行为一个正整数N，表示小A有N个位置。

第二行有N个由空格分隔的整数Hi，表示第i个位置的积木高度。-1表示这个位置上的积木已经被弄倒了。

Output

唯一的一行，输出包括可能的摆法mod 1,000,000,007的结果。

Sample Input

输入1：

-1 2 -1

输入2：

-1 -1 -1

输入3：

-1 -1 -1 2 -1 -1

Sample Output

输出1：

输出2：

输出3：

Data Constraint

对于50%的数据 1<=N<=1000 -1<=Hi<=1000

对于80%的数据 1<=N<=10000

对于100%的数据 1<=N<=20000 -1<=Hi<=10000

题解

这道题……

水法：Θ(n2) dp\Theta(n^2)\ dp
正解：Θ(nlog(109+7)) dp\Theta(nlog(10^9+7))\ dp

先来说说水法
每块积木高度，必定是前一块积木的高度+1/-1/0（不变）
那么方程就是f[i][j]=f[i−1][j−1]+f[i−1][j]+f[i−1][j+1]f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j]+f[i-1][j+1]
当然，直接这么打会MLE，因为N∗(N∗2+1)N*(N*2+1)早就爆了，那就开个滚动数组

如果评测机开了O2O2，这么做就行了
如果没开，会被卡常，就把数组改成long longlong\ long，然后每10次运算modmod一次

再来说说正解
由于每次只会变化1，所以最终在两个确定高度之间会形成一个阶梯状的图形
将其看成一个整体，统计一下方案数，乘起来就可以了

那么怎么算方案数呢？

题目可以转化为这幅图，a和b代表两个确定高度，求：
从a开始，每次可以向右上/右/右下走，不能越过紫线，求到b点的方案数

怎么做？排列组合啊
再转换一下

0/1/-1代表与前一列的高度差，只要所有加起来等于a、b点高度差即可
知道0/1/-1这三个任意一个的个数之后，另外两个也就知道了
所以枚举一下，用排列组合统计一下就可以了

代码

水解
time：853ms

#include<cstdio>
#include<cstring>
#define N 20001
#define M 1000000007long a[N];
long long f[2][2*N+1];int main()
{   long n,i,j,h,now;bool t;freopen("brick.in","r",stdin);freopen("brick.out","w",stdout);scanf("%ld",&n);a[0]=-1;for(i=1;i<=n;i++){scanf("%ld",&a[i]);}now=0;h=-1;for(i=1;i<=n;i++){if(i<=n/2+1)h++;else h--;memset(f[now],0,sizeof(f[now]));if(i==1){if(a[i]<=0)f[now][0]=1;else break;}else if(a[i]==-1){for(j=h;j>=0;j--)f[now][j]=(f[now^1][j+1]+f[now^1][j]+f[now^1][j-1])%M;}else{f[now][a[i]]=(f[now^1][a[i]+1]+f[now^1][a[i]]+f[now^1][a[i]-1])%M;}now^=1;}printf("%ld\n",f[now^1][0]);return 0;
}

正解
time：8ms
code by：ypx大佬

#include <bits/stdc++.h>#define N 20005
#define MOD 1000000007typedef long long ll;int read()
{int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9') {if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}return x * f;
}ll pow(int x,int y)
{ll res = 1;while (y){if (y & 1)res = (ll)res * x % MOD;x = (ll)x * x % MOD;y >>= 1;}return res;
}int jc[N + 5], ny[N + 5];void pre()
{jc[0] = 1;for (int i = 1; i <= N; i++){jc[i] = (ll)jc[i - 1] * i % MOD;}for (int i = 0; i <= N; i++){ny[i] = pow(jc[i], MOD - 2);}
}ll C(int n,int m)
{if (m > n)return 0;return ll(jc[n]) * ny[m] % MOD * ny[n - m] % MOD;
}int h[N + 5];
int f[N + 5];int main()
{freopen("brick.in","r",stdin);freopen("brick.out","w",stdout);int n = read();for (int i = 1; i <= n; i++)h[i] = read();if (h[1] > 0 || h[n] > 0){printf("0\n");return 0;}pre();h[1] = 0, h[n] = 0;f[1] = 1;for (int i = 2, j = 1; i <= n; i++)if (h[i] >= 0){int H = abs(h[i] - h[j]);for (int k = 0; k <= i - j - H; k++){int l = (i - j - k);if ((l + H) % 2 == 0)f[i] += ll((C(l,(l + H) >> 1) - C(l, (l + h[i] + h[j] + 2) >> 1) + MOD) % MOD) * C(i - j, k) % MOD, f[i] %= MOD;}f[i] = (ll(f[i]) * (f[j])) % MOD;j = i;}printf("%d\n",f[n]);
}

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