向量：

向量究竟是什么？在线性代数中，最根源最基本的就是向量，在不同行业不同场景中，向量的解释是不一样的。

在物理学中，向量可以看成空间中的箭头，有大小和方向，例如，用来表示作用力，速度等，向量只有大小和方向，可以任意移动，没有位置。在三维空间中，如下图一样：

在计算机专业，向量就是数组，或者可以理解为数字列表，例如：房屋面积和房屋价格一起组成的表，电脑品牌，型号，cpu配置，显卡配置等组成的表。这样的表中的一组就可以理解为一个向量。只不过参数（列）越多，向量维度越高。

在数学界，向量可以使任何东西，只要保证两个向量相加和向量相乘是有意义的就可以了，如下：

几何角度的思考：

在从集合角度说明向量的时候，想到向量，实际就是一个箭头，这个箭头在一个坐标系中，箭头的起点在原点，终点在向量尖端所指向的地方。这很容易想象出来，如下图，在二维直角坐标系中像这样：

根据高中所学的知识，这样的向量的第一个数就代表了这个向量在X方向移动的单位个数，第二个数代表了向量在Y方向移动的单位个数，正数代表向右移动，负数代表向左移动。这里的单位个数中的单位可以使任意的，例如米（m）。为了与点的表示形式区分，向量的多个数通常竖着写，并使用中括号包含。

在上图的二维直角坐标系中，每一个二元数组数都能代表一个向量，同样的，每个向量敲好也是对应两个数字，延伸到三维空间，向量就是与一个有序的三元数组对应。同样的，第一个数代表向X轴走多远，第二个数代表向Y轴走多远，第三个数代表向Z轴走多远，如下图：

数学定义向量只要相加和相乘有意义即可，实际上，线性代数中每个主题都是围绕这两种运算展开的，好在这两个运算的定义都非常简单。

向量相加：

两个向量相加，实际将之一一对应的元素相加即可得到结果，在几何中，向量相加即是代表合成。运动的合成是很典型的例子。如果细化到向量的每个元素，两个向量相加在二维中可以看成两次沿着X轴移动，两次沿着Y轴移动，其结果显然一样，如下图：

向量数乘：

向量数乘就是一个标量乘以一个向量，得到的结果还是向量，这在几何上可以理解为向量的放大缩小操作，这个标量大于1就是放大，小于1即缩小。实际上，标量在线性代数中的作用就是用来做缩放操作的。

总结：

相对于线性代数和变换矩阵的运算，向量是极其简单的，在几何上也非常好理解，不再做过多的介绍。

张成空间与基：

在我们描述向量时，通常是使用一组数字来描述，例如（3，-2），我们怎么看待这两个数字呢？我们容易想象这两个数字在二维直角坐标系下的样子，知道这个箭头尖端是向X轴走三步，向Y轴走-2步到达的（特别注意，我们这样理解完全是建立在一个二维直角坐标系下的）。实际上，3和-2都是标量，在几何上，我们可以按以下方式理解：

二维直角坐标系建立必须要XY两个轴，除此之外还必须定义每个轴上的单位长度。例如，我们将每一米长度作为单位长度，那么，（3，-2）代表向X轴走三米，向Y负方向走两米。这个单位长度的定义就是为了确定每个轴的单位向量的，单位向量是特殊的向量。在上面二维直角坐标系中，（1，0）和（0，1）就是XY轴的单位向量，（3，-2）表示为如下图：

从几何上看，在二维直角坐标系中，任意向量都可以表示成将i，j两个向量进行缩放操作后的和。

缩放向量并相加这一概念至关重要，因为上面仅仅是二维直角坐标系，还有非直角坐标系，甚至三维非直角坐标系。此外，上面的 i，j 两个向量称之为基向量（与单位向量有区别）。这两个基向量组合一起称为此坐标系的基。

从上面，当我们将向量的数字看做标量时，实际上就代表对对应基向量做的缩放操作的倍数，如下图：

那么问题来了，似乎我们研究的几何知识仅仅是在二维直角坐标系或者三维直角坐标系下进行的，原因仅仅是我们所熟悉的空间就是如此，然而，线性代数却并非止步于这样的空间。在介绍张成空间之前，先了解下空间的种类与定义

空间：

空间这个概念是现代数学的基础之一，从拓扑空间开始，逐步添加规则可形成很多种类的空间，线性空间是比较初级的部分：

线性空间里面定义范数形成赋范线性空间。

赋范线性空间满足完备性形成巴那赫空间。

赋范线性空间中定义角度形成内积空间。

内积空间满足完备性形成希尔博空间。

……

我们一般所熟知的空间就是生活中的三维空间（实际三维空间并非我们理解的那样，我们理解的是牛顿的绝对时空观），在数学上，绝对时空就是一个三维的欧几里得空间，空间有无穷多的位置，有定义长度，角度。

张成空间与基：

上面，我们选择了（1，0）和（0，1）作为基向量，如果我们选择的不是这两个呢？会出现什么情况。例如，我们选择（1，2）和（3，-1）作为基向量，在这两个基向量形成的基（可理解为坐标系）下，（1.5，0.6）这个向量是什么样子的呢？如下图：

我们可以很直观的发现，（1.5，0.6）这个向量在原来的坐标系下，大约等于（3.3，2.4）的样子，发生了本质改变。当我们任意选择（1.5，0.6）这两个标量时，我们可以得到这个基下面的所有的二维向量，如下图：

基于以上，实际上就是为了说明，当我们用标量（数字）描述向量的时候，实际上是建立在基上面的，在不同基中，同样的一组标量所代表的向量是不一样的。通过基向量，可以得到这个空间下的任意向量。

然而，线性一词是什么意思呢？在我看来，可以理解为规则的，绝对的，与爱因斯坦的相对空间以及其他的区别。如同3Blue1Brone理解的那样，在坐标系中表现为只改变一组标量的其中一个值，得到的是一条直线，而现实中的空间，考虑相对论，却并非如此。如下图：

有一种特殊情况，在二维中，如果我们定义的两个基处于同一条直线上，那么通过这两个基得到的线性组合也会被限制在这一条直线上，很好理解。此外，如果两个基向量都为零向量，那么他们的线性组合就会被限制在一个点上。

一个基的张成空间就是这个基的所有基向量的所有线性变换得到的向量的集合，实际就是这个基的所有向量集合，他代表了这个基线性组合能够达到的最大范围，在数学上，这个范围可以是任意的，不一定是几何上的空间。

我们通常会把向量看做箭头，在实际使用中，我们会把向量看做一个点，这也很好理解，相当于我们从原点只想这个点的箭头就代表这个向量。

因此，把之前说的张成空间里面所有的向量抽象化成点后，在几何上，就代表了实际的线性空间。即可以代表无限大的二维平面本身，无限大的三维空间本身。而，如果一个基中存在共线的基向量，那么这个空间就会被局限。

延伸到三维空间，三个基中（假设不存在共线或零向量情况），任意两个基变化形成的空间就是一个平面，也就是这两个向量的张成空间，三个向量都变化得到的就是整个空间了，如下图：

上面谈论的是基向量不存在共线等特殊情况，如果特殊呢？就会存在一个基向量没有对张成空间做任何贡献，这种情况，我们称之为线性相关，而如果不特殊情况，所有基向量都会为这个基增加纬度，则称之为线性无关，结合之前讨论的线性一词，这比较好理解。

总结：

现在来看这些名词，结合几何直观，就会有比较深的理解：

向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。

参考资料：

3Blue1Brown：向量究竟是什么

3Blue1Brown：线性组合、张成空间与基

myan：理解矩阵（一）

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几何角度的思考：

向量相加：

向量数乘：

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张成空间与基：

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参考资料：

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