定积分和微积分基本定理

【考纲要求】

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。

2.正确计算定积分，利用定积分求面积。

【知识网络】

【考点梳理】

要点一、定积分的概念

定积分的定义：如果函数

在区间

上连续，用分点

将区间

等分成

个小区间，在每个小区间

上任取一点

，作和式

，当

时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数

在区间

上的定积分.记作

，即

＝

，这里，

与

分别叫做积分下限与积分上限，区间

叫做积分区间，函数

叫做被积函数，

叫做积分变量，

叫做被积式.

要点诠释：

(1)定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；

(2)用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.

要点二、定积分的性质

(1)

(

为常数)，

(2)

，

(3)

(其中

)，

(4)利用函数的奇偶性求积分：

若函数

在区间

上是奇函数，则

；

若函数

在区间

上是偶函数，则

.

要点三、微积分基本定理

如果

，且

在

上连续，则

,其中

叫做

的一个原函数.由于

也是

的原函数，其中c为常数.

一般地，原函数在

上的改变量

简记作

.因此，微积分基本定理可以写成形式：

.

要点诠释：

求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.

要点四、定积分的几何意义

设函数

在区间

上连续.

在

上，当

时，定积分

在几何上表示由曲线

以及直线

与

轴围成的曲边梯形的面积；如图(1)所示.

在

上，当

时，由曲线

以及直线

与

轴围成的曲边梯形位于

轴下方，定积分

在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；

在

上，当

既取正值又取负值时，定积分

的几何意义是曲线

，两条直线

与

轴所围成的各部分面积的代数和.在

轴上方的面积积分时取正号，在

轴下方的面积积分时，取负号.如图(2)所示.

要点五、应用

(一)应用定积分求曲边梯形的面积

1.如图，由三条直线

，

，

轴(即直线

)及一条曲线

(

)围成的曲边梯形的面积：

；

2.如图，由三条直线

，

，

轴(即直线

)及一条曲线

(

)围成的曲边梯形的面积：

；

3.如图，由曲线

及直线

，

围成图形的面积公式为：

.

4.利用定积分求平面图形面积的步骤：

(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；

(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；

(3)写出定积分表达式；

(4)求出平面图形的面积.

(二)利用定积分解决物理问题

①变速直线运动的路程

作变速直线运动的物体所经过的路程

，等于其速度函数

在时间区间

上的定积分，即

.

②变力作功

物体在变力

的作用下做直线运动，并且物体沿着与

相同的方向从

移动到

，那么变力

所作的功

.

【典型例题】

类型一：运用微积分定理求定积分

例1.运用微积分定理求定积分

(1)

；(2)

；(3)

.

【解析】(1)∵

，

∴

；

(2)∵

，

∴

.

(3)∵

，

∴

；

【总结升华】求定积分最常用的方法是微积分基本定理，其关键是找出使得

的原函数

。通常我们可以运用基本函数的求导公式和四则运算法则从反方向求

，即利用求导函数与求原函数互为逆运算。

举一反三：

【变式】计算下列定积分的值：

(1)

，(2)

【解析】(1)

(2)

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577典型例题四】

例2.求

【解析】

【总结升华】化简被积函数是积分的前提，直到最简为止.

举一反三：

【变式】计算下列定积分的值.

(1)

；(2)

；(3)

；

【解析】(1)

，

(2)

.

(3)

.

例3.求定积分

，求函数

在区间

上的积分；

【解析】

.

【总结升华】当被积式为分段函数时，应分段积分。

举一反三：

【变式】求定积分：

；

【解析】

＝

＋

＝

＋

＝

＝

类型二：利用定积分的几何定义

例4.求定积分：

；

【解析】设

，则

表示

个圆，

由定积分的概念可知，所求积分就是

圆的面积,

所以

举一反三：

【变式】求定积分：

【解析】设

，则

表示如图的曲边形，

其面积

,

故

.

类型三：利用定积分求平面图形面积

例5．求直线

与抛物线

所围成的图形面积.

【解析】如图，由

得，交点

，

，

所求面积：

.

【总结升华】求平面图形的面积体现了数形结合的思想，是解题的主要思路.求图形的面积的一般步骤是：

(1)画出图形，并把图形适当分解为若干个基本的曲边梯形；

(2)找出相关曲线的交点坐标，即解方程组，确定每个曲边梯形的积分区间(即积分上下限)；

(3)确定被积函数，即解决“积什么”的问题，是解题的关键；

(4)写出表示各曲边梯形面积的定积分表达式；

(5)计算各个定积分，求出所求的面积.

举一反三：

【高清课堂：定积分和微积分基本定理394577典型例题一】

【变式1】由直线

，

，曲线

及

轴所围图形的面积为(  ).

A．

B．

C．

D．

【解析】

【答案】D

【变式2】在曲线

上的某点A处作一切线使之与曲线以及

轴所围成的面积为

. 试求：切点A的坐标以及切线方程.

【解析】设点

，则切线

，即

，则

由

，得点

，

∴

，

∴

，即

，解得

.

∴切点

，切线

.

类型四：利用定积分解决物力问题

例6.汽车以每小时32公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以匀减速度

米/秒2刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少距离？

【解析】首先要求出从刹车开始到停车经过了多少时间，

当

时，汽车速度

公里/小时＝

米/秒

8.88米/秒.

刹车后汽车减速行驶，其速度为

.

当汽车停车时，速度

，

故从

到

用的时间

秒.

于是在这段时间内，汽车所走过的距离是

＝

米.

即在刹车后，汽车需走过21.90米才能停住.

【总结升华】解决实际应用问题，解题的关键是弄清事物变化发展的规律，再根据规律变化找到相应的函数式.

举一反三：

【变式1】一物体在力

的作用下，沿着与

相同的方向，从

处运动到

处，求力

所做的功。

【解析】

.

【变式2】一列火车在平直的铁轨上行驶，由于遇到紧急情况，火车以速度

(单位：

)紧急刹车至停止。求：

(1)从开始紧急刹车至火车完全停止所经过的时间；

(2)紧急刹车后火车运行的路程。

【解析】(1)由

解得

，因此，火车经过

后完全停止；

(2)

=

。

巩固练习:

1.如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(　　)

A．

B．

C．

D．

2.已知二次函数

的图象如图所示,则它与

轴所围图形的面积为(　　)

A．

B．

C．

D．

3．

与

的大小关系是(   )

A.

B.

C.

D.无法确定

4．下列结论中错误的是(   )

A．

B．

C．

＝

＋

(其中

D．

＝

5．下列定积分值为0的有()

A.

B.

C.

D.

6．已知

为偶函数且

，则

()

A.0B.4C.8D.16

7．定积分

()

A.

B.

C.

D.

8．曲线

与坐标轴围成的面积(    )

A．4

C．

D．3

9．一辆汽车以速度

的速度行驶，这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为(    )

A.

B.1C.3D.27

10．已知自由落体运动的速度

，则落体运动从

到

所走的路程为(    )

A．

C．

D．

11．

；

12．

=；

13．设

，则

＝；

14．求

.

15．求曲线

与

轴所围成的图形的面积．

16．求由两条曲线

及直线

所围成图形的面积.

【参考答案与解析】

1.C

【解析】

,故

,

2.B

【解析】根据图像可得:

,再由定积分的几何意义,

可求得面积为

3．A

【解析】

，

4．D

5．D

【解析】设

则

∵

在区间

上是奇函数，

∴

6. D

【解析】

为偶函数，则

7. D

【解析】

中的被积函数

恰是一个位于x轴上方的半圆，

其面积为

，故

，又

∴

8．D

9．D

【解析】这辆汽车从t=0到t=3这段时间内所行驶的路程为：

10．C

11.

【解析】

；

12．

【解析】原式=

13．

14．【解析】

＝

＝

又

，

∴原式＝

＝

.

即

＝

.

15．【解析】首先求出函数

的零点：

，

，

.

又易判断出在

内，图形在

轴下方，在

内，图形在

轴上方，

所以所求面积为

16．【解析】如图所示，

解方程组容易得到

.

由对称性，所求图形的面积为

轴右侧图形面积的2倍，则图形的面积为：

＝

.

若选

为积分变量，则所求面积为：

.