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参数方程、极坐标

[导读]学科：数学 教学内容：参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化....

教学内容：参数方程、极坐标

　　一、考纲要求

　　1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程.

　　2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点.　　　　二、知识结构

　　1.直线的参数方程

　　(1)标准式  过点Po(x0,y0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是　　　　 (t为参数)

　　(2)一般式  过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是

　　    (t不参数)        ②

　　在一般式②中，参数t不具备标准式中t的几何意义，若a2+b2=1,②即为标准式，此时， ｜ t｜表示直线上动点P到定点P0的距离；若a2+b2≠1，则动点P到定点P0的距离是

　　｜t｜.

　　直线参数方程的应用  设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是

　　    (t为参数)

　　若P1、P2是l上的两点，它们所对应的参数分别为t1,t2，则

　　(1)P1、P2两点的坐标分别是

　　(x0+t1cosα,y0+t1sinα)

　　(x0+t2cosα,y0+t2sinα)；

　　(2)｜P1P2｜=｜t1-t2｜;

　　(3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t，则　　t=　　中点P到定点P0的距离｜PP0｜=｜t｜=｜｜

　　(4)若P0为线段P1P2的中点，则

　　t1+t2=0.

　　2.圆锥曲线的参数方程

　　(1)圆  圆心在(a,b)，半径为r的圆的参数方程是

　　 (是参数)

　　φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角，∈［0,2π］(见图)　　　　 (2)椭圆  椭圆=1(a＞b＞0)的参数方程是

　　    (为参数)

　　椭圆  =1(a＞b＞0)的参数方程是

　　    (为参数)

　　3.极坐标

　　极坐标系  在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫 做极轴.

　　①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一 不可.

　　点的极坐标  设M点是平面内任意一点，用ρ表示线段OM的长度，θ表示射线Ox到OM的角度 ，那么ρ叫做M点的极径，θ叫做M点的极角，有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图)　　　　极坐标和直角坐标的互化

　　(1)互化的前提条件

　　①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；

　　②极轴与x轴的正半轴重合

　　③两种坐标系中取相同的长度单位.

　　(2)互化公式　　　　

　　三、知识点、能力点提示

　　(一)曲线的参数方程，参数方程与普通方程的互化

　　例1  在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B，使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长.

　　解：  将圆的方程化为参数方程：

　　 (θ为参数)

　　则圆上点P坐标为(2+5cosθ，1+5sinθ)，它到所给直线的距离为d==｜4cosθ+3sinθ +6｜=5・｜(cosθ+sinθ)+｜ =5｜cos(φ-θ)+ ｜，其中cosφ=，sinφ= .故当cos(φ-θ)=1，即φ=θ时 ，d最长，这时，点A坐标为(6，4)；当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时，d最短，这时，点B坐标为(-2，2).　　　　(二)极坐标系，曲线的极坐标方程，极坐标和直角坐标的互化

　　说明  这部分内容自1986年以来每年都有一个小题，而且都以选择填空题出 现.

　　例2  极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π＋θ)必定是(    )

　　A.关于直线θ=对称            B. 关于极点对称

　　C.关于极轴对称                 D.同一曲线

　　解：因(ρ，θ)与(-ρ，π+θ)表示相同的点，

　　故选D.　　　　(三)综合例题赏析

　　例3  椭圆 (Φ是参数)的两个焦点坐标是(    )

　　A.(-3，5)，(-3，-3)          B.(3，3)，(3，-5)

　　C.(1，1)，(-7，1)          D.(7，-1)，(-1，-1)

　　解：化为普通方程得=1

　　∴a2=25,b2=9,得c2＝１６,c=4.

　　∴F(x-3,y+1)=F(0,±4)

　　∴在xOy坐标系中，两焦点坐标是(3，3)和(3，-5).

　　应选B.

　　例4  参数方程

　　     (0 ＜θ＜2π)表示(    )

　　A.双曲线的一支，这支过点(1，)

　　B.抛物线的一部分，这部分过(1，)

　　C.双曲线的一支，这支过(-1，)

　　D.抛物线的一部分，这部分过(-1，)

　　解：由参数式得x2=1+sinθ=2y(x＞0)

　　即y=x2(x＞0).

　　∴应选B.

　　例5  曲线的参数方程为 (0≤t≤5)则曲线是(    )

　　A.线段          B.双曲线的一支

　　C.圆弧          D.射线

　　解  消去t2得，x-2=3(y-1)是直线

　　又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段

　　应选A.

　　例6  下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是(    )

　　A.                  B.

　　C.           D.

　　解：普通方程x2-y中的x∈R，y≥0，A.中x=｜t｜≥0，B. 中x=cost∈〔-1,1〕，故排除A.和B.

　　C.中y==ctg 2t==，即x2y=1，故排除C.

　　∴应选D.

　　例7  曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为(    )

　　A.x2+(y+2)2=4          B.x2+(y-2)2=4

　　C.(x-2)2+y2=4          D.(x+2)2+y2=4

　　解：将ρ=，sinθ=代入ρ=4sinθ，得

　　x2+y2=4y，即x2+(y-2)2=4.

　　∴应选B.

　　例8  极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是(    )

　　A.双曲线      B.椭圆      C.抛物线      D.圆

　　解：原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sin θ)；ρ2=ρcosθ+ρsinθ，

　　∴普通方程为 (x2+y2)=x+y，表示圆.

　　应选D.

　　例9  在极坐标系中，与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是(    )

　　A.ρsinθ=2           B.ρcos θ=2

　　C.ρcosθ=-2          D.ρcosθ=-4

　　解：如图.　　　　⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ，CO⊥OX,OA为直径，｜OA｜=4,l和圆相切，l 交极轴于B(2，0)点P(ρ,θ)为l上任意一点，则有

　　cosθ=，得ρcosθ=2，

　　∴应选B.

　　例10  极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是 (    )

　　A.两条射线          B.两条相交直线

　　C.圆                D.抛物线

　　解：由4sin2θ=3,得4・＝3,即y2=3 x2，y=±x,它表示两相交直线.

　　∴应选B.

【同步达纲练习】

　　 (一)选择题

　　1.点P的直角坐标为(1，-)，则点P的极坐标为(    )

　　A.(2，)          B.(2，)         C.(2，-)          D.(-2，-)

　　2.直线：3x-4y-9=0与圆：，(θ为参数)的位置关系是(    )

　　A.相切                B.相离

　　C.直线过圆心          D.相交但直线不过圆心

　　3.若(x，y)与(ρ，θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标，t表示参数，则下列各组曲 线：①θ=和sinθ=；②θ=和tgθ=，③ρ2-9=0和ρ= 3；④和.

　　其中表示相同曲线的组数为(    )

　　A.1      B.2

　　C.3      D.4

　　4.设M(ρ1，θ1)，N(ρ2，θ2)两点的极坐标同时满足下列关系：ρ1+ρ2=0 ，θ1+θ2=0，则M，N两点位置关系是(    )

　　A.重合          B.关于极点对称

　　C.关于直线θ=          D.关于极轴对称

　　5.实数x,y，θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ

　　变化时，点(x,y)的轨迹是(    )

　　A.椭圆      B.双曲线      C.抛物线      D.圆

　　6.经过点M(1，5)且倾斜角为的直线，以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是(    )

　　A.                B.

　　C.                D.

　　7.将参数方程(m是参数，ab≠0)化为普通方程是(    )

　　A. =1(x≠a)            B. =1(x≠-a )

　　C. =1(x≠a)            D. =1(x≠-a )

　　8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为(    )

　　A.(x-)2+(y-)2=1                B.y2=2(x-)

　　C.(x-)(y-)=0                  D.＝1

　　9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 (    )

　　A.一条射线          B.两条射线

　　C.一条直线          D.两条直线

　　10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方程为(    )

　　A.y-1=±(x+2)          B.y=±x

　　C.y-1=±2(x+2)          D.y+1=±2(x-2)

　　11.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则直线的倾斜角为(    )

　　A.或          B. 或       C. 或          D.- 或-

　　12.已知曲线(t为参数)上的点M，N对应的参数分别为t1，t2，且t1+t2=0，那么M，N间的距离为(    )

　　A.2p(t1+t2)               B.2p(t21+t22)

　　C.│2p(t1-t2)│           D.2p(t1-t2)2

　　13.若点P(x，y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动，点M(-2xy，y2-x2)也在单位 圆上运动，其运动规律是(    )

　　A.角速度ω，顺时针方向    B.角速度ω，逆时针方向

　　C.角速度2ω,顺时针方向  D.角速度2ω，逆时针方向

　　14.已知过曲线 (θ为参数，且0≤θ≤π)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为，则P点坐标是(    )

　　A.(3，4)                     B.(，2)

　　C.(-3，-4)                   D.(，)

　　15.直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称，则l的方程是(    )

　　A.ρ=            B.ρ=

　　C.ρ=            D.ρ=　　　　(二)填空题

　　16.双曲线  的中心坐标是                 .

　　17.参数方程(θ为参数)化成普通方程为            .

　　18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是              .

　　19.抛物线y2=2px(p＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段，则=         .　　　　(三)解答题

　　20.设椭圆(θ为参数) 上一点P，若点P在第一象限，且∠xOP=，求点P的坐 标.　　　　

　　21.曲线C的方程为 (p＞0，t为参数)，当t∈［-1，2］时 ，曲线C的端点为A，B，设F是曲线C的焦点，且S△AFB=14，求P的值.　　　　

　　22.已知过点P(1，-2)，倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m

　　(1)m取何值时，直线l和抛物线交于两点?　　　　(2)m取何值时，直线l被抛物线截下的线段长为.　　　　23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 (θ 为参数)的左焦点和左顶点，且焦点到相应的准线的距离为，求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离.　　　　24.A，B为椭圆=1，(a＞b＞0) 上的两点，且OA⊥OB，求△AOB的面积的最大值和最小值.　　　　25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈［0,π］,当t变化时：

　　(1)求P，Q两动点的轨迹；　　　　(2)当｜PQ｜＝时，求t的值.　　　　

参考答案

【同步达纲练习】

　　(一)1.C  2.D  3.C  4.C  5.D  6.A  7.A  8.A  9.B  10.C  11.A  12.C   13.C  14.D  15.D

　　(二)16.(2，-1)；17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0；19.

　　(三)20.(，)；21.；

　　22.(1)m＞,(2)m=3；23.(27-3)；24.Smax=，smin=;

　　25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0)，(2)t=或t=.