振动力学——1.单自由度系统自由振动
1.单自由度系统无阻尼自由振动
图1-1 单自由度系统
单自由度系统如图1-1所示,设x为质量块位置,以质量块静平衡位置为原点,λ为静变形,当受到初始扰动时,有牛顿第二定律,得:
(1-1)
由于静平衡位置有:
(1-2)
可得自由振动微分方程:
(1-3)
设,可得:
(1-4)
式(1-4)为二阶常系数齐次线性微分方程,通解形式为,c,s为待定系数。将通解代入式(1-4),可得特征方程:
(1-5)
解此特征方程,可得特征根s1,2=±iω0;通解可写成:
进一步利用欧拉公式:
(1-6)
式(1-6)中A代表单自由度系统无阻尼自由振动的振幅,φ代表初始相位。
(1-7)
固有频率ω0为系统固有数值特征,与系统是否振动以及如何振动无关。
振幅A与初相位φ为非系统固有数字特征,与系统所受激励和初始状态有关。
考虑零时刻初始条件,零时刻位移:零时刻速度,代入(1-6)式有:
单自由度系统零初始条件下自由振动:
(1-8)
由式(1-8)可知,振动解是正弦项和余弦项的叠加。因此,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后,其自由振动是以为振动频率的简谐振动,并且永无休止。
对于初始条件,可以认为是外界能量传入了系统,初始位移即传入了弹性势能,初始速度即传入了动能。
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参考:振动力学_上海交通大学_中国大学MOOC(慕课)
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