一、引言

个人觉得，级数算是高数体系里边比较有难度的一章，（虽然在学校的教学中，这章不是貌似很重要，只有前三节那样，相关的作业题目难度也比较低）本文的主要内容是常数项级数和幂级数，基本和高数教学相同，主要探讨这两节重要知识点。

二、思维导图

话不多说，直接上图

三、浅谈题目

押下期末考试题，盲猜选择填空有正项级数和交错级数的敛散性判定，（任意项应该不会考），大题必有幂级数

而在考研中，emmm可能所有都会考，个人觉得难度较大可能会有常数项级数敛散性的判定、级数展开、用级数求解极限以及一些和常数项级数、幂级数相关的证明题和综合题。

四、解题思路

上次写曲线积分的时候觉得手写的效果，这次就先不写题目了（本来想用latex写的，可是发现自己latex太菜了），而是列举题目类型以及一些对应的思路。

1. 正向级数敛散性判定

方法选择：比值法、根值法 > 比较、比较的极限形式 > 定义、性质

比值法和根值法要比较判别以及它的极限形式要好用，不用去想要比较的级数，但是比值法和根植法在结果为1的时候是不能解决的，这就意味着适用范围要小于比较法，所以在解题时优先考虑比值和根值。

比值和根值如何选择？

根据级数一般项的形式，如果有n！（阶乘）适合采用比值；如果有n次方则适合采用根值法

比较级数得选择

通常选取p级数和等比级数

2. 交错级数敛散性判定

莱布尼茨 > 定义，性质，或者变绝对值级数判断是否绝对收敛

莱布尼茨审敛准则：1）Un+1 <= Un；2）一般项最终会趋于0；

注意：1）莱布尼兹判别准则是一个充分条件，即如果交错级数收敛，上述条件1）不一定成立

说明Un <= Un+1通常有三种方法

1°做比 <= 1; 2° 做差 <= 0; 3° 找函数求导，导数小于0，un单调减且取极限趋于0。

3. 任意项（期末应该不考）

思路：1）利用绝对收敛的级数一定收敛

2）级数性质和定义。

4. 有关常数项的证明和综合题（期末考这个，很多人估计就寄了）

思路：考察级数综合能力，所以没有具体的思路，无外乎把前面的一个个套，具体还是要依据题目来求解与证明。

5. 幂级数收敛域（基本上大题）

思路：先求级数的收敛半径，求解方法有阿贝尔定理，前面学到的比值法，根值法。先判断，是否幂级数的每一项都存在对应幂，例如只有寄次幂或者偶次幂则不能使用阿贝尔定理。在有些时候可以使用换元来求解半径。求出半径后，再代端点值分析级数此时的敛散性。从而求出收敛域。

对于有些题目，需要采取如逐项求导和逐项积分来求解。

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