题目

用隐式中点公式求解常微分方程:
{dydx=y,y(0)=1.\begin{cases} \dfrac{dy}{dx}=y,\\ y(0)=1. \end{cases} ⎩⎨⎧dxdy=y,y(0)=1.

具体分析

前期准备

首先对和在区间上进行离散化，然后构造递推公式，再进一步得到在这些位置的近似取值。
这些离散位置可以表示为:
x1,x2,⋯,xn,⋯x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},\cdotsx1,x2,⋯,xn,⋯
显然，y(x)y(x)y(x)在这些离散的点处精确取值为：
y(x1),y(x2),⋯,y(xn),⋯y(x_1),y(x_2),\cdots,y(x_n),\cdotsy(x1),y(x2),⋯,y(xn),⋯
令相邻两个离散点的间隔为一定值hhh，则有xn=x1+nh(n=1,2,⋯)x_n=x_1+nh(n=1,2,\cdots)xn=x1+nh(n=1,2,⋯)，记f(x,y)=yf(x,y)=yf(x,y)=y。

p级隐式R-K方法(类似于龙格-库塔法的思想)
{yn+1=yn+h∑r=1pλrKr,Kr=f(xn+αrh,yn+h∑i=1pλriKi),r=1,2,⋯,p.\begin{cases} y_{n+1}=y_{n}+h\sum\limits_{r=1}^{p}\lambda_{r}K_{r},\\ K_{r}=f(x_n+\alpha_{r}h,y_{n}+h\sum\limits_{i=1}^{p}\lambda_{ri}K_{i}),r=1,2,\cdots,p.\\ \end{cases}⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧yn+1=yn+hr=1∑pλrKr,Kr=f(xn+αrh,yn+hi=1∑pλriKi),r=1,2,⋯,p.
我们可利用TaylorTaylorTaylor展开确定系数。(下面以r=1为例)

确定系数

{yn+1=yn+hλK,(1)K=f(xn+αh,yn+hλ∗K).(2)\begin{cases} y_{n+1}=y_{n}+h\lambda K,&(1)\\ K=f(x_n+\alpha h,y_{n}+h\lambda_{*}K).&(2)\\ \end{cases} {yn+1=yn+hλK,K=f(xn+αh,yn+hλ∗K).(1)(2)
首先，我们对二式中对fff在xnx_nxn出TaylorTaylorTaylor展开，得：
K=f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh+fy(xn,yn)hλ∗K+o(h2)K=f(x_n,y_n)+f_x(x_n,y_n)\alpha h+f_y(x_n,y_n)h\lambda_{*}K+o(h^2)K=f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh+fy(xn,yn)hλ∗K+o(h2)
解出K=f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh1−fy(xn,yn)hλ∗K=\frac{f(x_n,y_n)+f_x(x_n,y_n)\alpha h}{1-f_y(x_n,y_n)h\lambda_{*}}K=1−fy(xn,yn)hλ∗f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh，
代入(1)式得：
yn+1=yn+hλf(xn,yn)+fx(xn,yn)αh1−fy(xn,yn)hλ∗y_{n+1}=y_{n}+h\lambda\frac{f(x_n,y_n)+f_x(x_n,y_n)\alpha h}{1-f_y(x_n,y_n)h\lambda_{*}}yn+1=yn+hλ1−fy(xn,yn)hλ∗f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh
与y(xn+1)y(x_{n+1})y(xn+1)在xnx_nxn处TaylorTaylorTaylor展开进行比较:
y(xn+1)=y(xn)+h1!y′(xn)+h22!y′′(xn)+⋯y(x_{n+1})=y(x_n)+\frac{h}{1!}y^{'}(x_n)+\frac{h^2}{2!}y^{''}(x_n)+\cdotsy(xn+1)=y(xn)+1!hy′(xn)+2!h2y′′(xn)+⋯
得到：
hλf(xn,yn)+fx(xn,yn)αh1−fy(xn,yn)hλ∗≈h1!y′(xn)+h22!y′′(xn)h\lambda\frac{f(x_n,y_n)+f_x(x_n,y_n)\alpha h}{1-f_y(x_n,y_n)h\lambda_{*}}\approx\frac{h}{1!}y^{'}(x_n)+\frac{h^2}{2!}y^{''}(x_n)hλ1−fy(xn,yn)hλ∗f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh≈1!hy′(xn)+2!h2y′′(xn)
即：
λf(xn,yn)+fx(xn,yn)αh1−fy(xn,yn)hλ∗≈f(xn,yn)+h2[fx(xn,yn)+fy(xn,yn)f(xn,yn)]\lambda\frac{f(x_n,y_n)+f_x(x_n,y_n)\alpha h}{1-f_y(x_n,y_n)h\lambda_{*}}\approx f(x_n,y_n)+\frac{h}{2}[f_x(x_n,y_n)+f_y(x_n,y_n)f(x_n,y_n)]λ1−fy(xn,yn)hλ∗f(xn,yn)+fx(xn,yn)αh≈f(xn,yn)+2h[fx(xn,yn)+fy(xn,yn)f(xn,yn)]
简记为：
λf+fxαh1−fyhλ∗≈f+h2(fx+fyf)\lambda\frac{f+f_x\alpha h}{1-f_y h\lambda_{*}}\approx f+\frac{h}{2}(f_x+f_y f)λ1−fyhλ∗f+fxαh≈f+2h(fx+fyf)
化简得：
λf+λfxαh=f−ffyhλ∗+12hfx+12hfyf\lambda f+\lambda f_x\alpha h=f-ff_y h \lambda_{*}+\frac{1}{2}h f_x+\frac{1}{2}h f_y fλf+λfxαh=f−ffyhλ∗+21hfx+21hfyf
解得：
λ=1,λ∗=12,α=12.\lambda=1,\lambda_{*}=\frac{1}{2},\alpha=\frac{1}{2}.λ=1,λ∗=21,α=21.
从而得到隐式中点公式：
{yn+1=yn+hK,(1)K=f(xn+12h,yn+12hK).(2)\begin{cases} y_{n+1}=y_{n}+h K,&(1)\\ K=f(x_n+\frac{1}{2} h,y_{n}+\frac{1}{2}h K).&(2)\\ \end{cases} {yn+1=yn+hK,K=f(xn+21h,yn+21hK).(1)(2)

MATLAB求解

% Implicit kutta
clear all,close all,clc
f=@(x,y)y;
N=10;h=1/N;
x=linspace(0,1,N+1);
y=[1,zeros(1,N)];
K=randn(1);
for n=1:NK=f(x(n)+1/2*h,y(n)+1/2*h*K);y(n+1)=y(n)+h*K;
end
y_exact=@(x)exp(x);
plot(x,y_exact(x),'-b',x,y,'*r')
axis([0 1 0.9 3.5]),xlabel x,ylabel y
legend('Exact','ImKutta')
error=y_exact(x)-y;

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