高数复习（2）--方向导数与梯度的理解附根据梯度求轨迹的基本模型

2024-04-09 08:10:29

（非证明，仅供理解）

---------------------------公式-----------------------------

方向导数：
其中 l 是给定的一个射线的方向向量，(cosα)i+(cosβ)j+(cosγ)k构成其方向余弦

梯度：
是一个向量表达式，对于不同的( x , y , z )总是指向增量最大的方向

---------------------------理解-----------------------------

方向导数：
放在空间坐标系中的曲面 z = f( x , y ) 上理解

在 l 方向上这个曲面的变化量直接算当然很难，
但是可以把这个方向向量正交分解到x轴和y轴

计算出在x轴、y轴上变化了多少(也就是对x、y的偏导)，然后进行一定比例的叠加
这个叠加比例就是此方向向量的方向余弦余弦

梯度：
也是基于前一点的理解，方向导数的式子可以等价为向量的点乘：

在确定了曲面上某点后，前者是不变的，后者是任意方向的方向余弦，
因此后者不断变化，当两个向量方向一致的时候，整个乘积最大

此时的后者就是前者的方向余弦，因此直接把前者拿出来，定义它叫做梯度

（然后不断在脑子里强调，这个就是曲面此点增量最大的方向）

---------------------------总结-----------------------------

其实式子都很简单直接背都可以，但是从几何上知道它的直观体现还是很有帮助的

---------------------------经典题型-----------------------------

因此根据梯度求轨迹，实际上设某轨迹的每点切向( dx , dy ) 与梯度 ( fx’ , fy’ ) 平行，
化为代数表达式也就是 dx/dy = fx’/fy’
求微分方程就可以了

这里可能会规定这个轨迹过哪个点，决定了微分方程的常数
它代表着一个柱面(xOy平面的曲线沿z轴生成)，与原来的曲面联立就是空间的曲线了

高数复习（2）--方向导数与梯度的理解附根据梯度求轨迹的基本模型相关推荐

高数复习（4）--格林公式的理解
(非证明,仅供自己理解) ---------------------------公式----------------------------- 非常简单美观,而且实用,巧妙的把对坐标的曲线积分(一般这 ...
【20考研】数学：高数复习的先后顺序
在考研数学中,高数的复习难度是比较大的,所以很多考研er都已经早早开始高数的复习了.但是具体怎么复习,该先复习什么呢?下面跟小编一起来看看高数复习的先后顺序. 按照考试大纲划分复习范围在熟悉大纲的基 ...
c++ 一个学习小组有5个人，每个人有三门课（高数、英语和C语言）的考试成绩，求每人的平均成绩。按行输出每个学生的各科成绩及平均成绩。
[问题描述]一个学习小组有5个人,每个人有三门课(高数.英语和C语言)的考试成绩,求每人的平均成绩.按行输出每个学生的各科成绩及平均成绩. [输入形式]按高数.英语和C语言课程顺序输入每个学生的成绩. ...
大一微积分笔记整理_大一上学期高数复习要点整理
高数解题技巧.高数(上册)期末复习要点高数(上册)期末复习要点第一章: 1 .极限 2 .连续(学会用定义证明一个函数连续,判断间断点类型) 第二章: 1 .导数(学会用定义证明一个函数是否可导) ...
高数复习系列（同济，b版）——快乐级数
目录一.引言二.思维导图三.浅谈题目四.解题思路 1. 正向级数敛散性判定 2. 交错级数敛散性判定 3. 任意项(期末应该不考) 4. 有关常数项的证明和综合题(期末考这个,很多人估计就寄了 ...
高数 | 【微分方程】已知常系数微分方程特解，反求原方程
方法一:待定系数法(要求事先知道方程是哪种形状) 方法二:相消法(要求只要知道是几阶就能做) 万能方法三步走 1.写通解 2.求导再求导(几阶方程求导几阶) 3.联立三个方程消掉C1,C2(从后两个 ...
高数复习9.13 函数与极限
双曲正切函数图像反双曲arsh和arch的表达式 arshx=ln(x+x2+1)arsh x=ln(x+\sqrt{x^2+1})arshx=ln(x+x2+1) archx=ln(x+x2 ...
【学习日记04】高数复习+学习周报
6.21 *注:今天只学了一晚上,因为白天陪某个猪
当AI学会高数：解题、出题、评分样样都行
来源:AI科技评论 "高等数学里程碑式的研究",114页论文让AI文理双修,也许不久后机器出的高数试卷就会走进高校课堂,这下可以说"高数题不是人出的了". 人工 ...

最新文章

热门文章