阶乘约数【蓝桥杯国赛】

问题描述
定义阶乘 n! = 1 × 2 × 3 × ··· × n。

请问 100! （100 的阶乘）有多少个约数。

答案提交
这是一道结果填空的题，你只需要算出结果后提交即可。
本题的结果为一个整数，在提交答案时只填写这个整数，填写多余的内容将无法得分。

思路：

1.

理解题意，什么是约数，就是能被整数的数比如，6的约数1,2,3,6，10约数1,2,5,10。

2.

知晓定理：
任意一个正整数 X 都可以表示成若干个质数乘积的形式，即 X = p1α1 ∗ p2α2 …… ∗ pkαk
约数个数 = (a1 + 1)(a2 + 1)……(ak + 1)

例如：10的的质数乘积=2*5 ，约数个数=(1+1)*(1+1)=4；如上所说1 2 5 10
180的数乘积=22335，约数个数=(2+1)*(2+1)*(1+1)=18。约数为
1 2 3 4 5 6 9 10 12 15 18 20 30 36 45 60 90 180 。
a1,a2,a3就是分解质因数出现的个数（幂数），180分解后=2^2 + 3^2 + 5^1。

3.

阶乘中约数，就是阶乘中所有数质因数分解后，质因数的出现的次数（幂数）+1相乘。

代码思路：
1.分解质因数：一个数i的质因数，j从2到i，与i/j==0则是约数，i=i/j，将已经分解的数去除比如8/2=4，4/2=2，2是最后一个，最后得出8=2*2*2。
2.将分解质因数出现次数存放在一个数组中，循环将他们次数+1，然后相乘即可。

代码实现：

public class Main {public static void main(String[] args) {//存储每个数分解完后，出现的次数（幂数）int arr[] = new int[101];//记录结果long sum=1;for (int i = 2; i <= 100; i++) {//将每个数分解质因数，即将这个数分为质数乘积组成的形式，记录分解的数出现次数。int j = 2, i1 = i;while (i1 != j) {if (i1 % j == 0) {arr[j]++;i1 = i1 / j;} else {j++;}}//最后i1==j就是分解到最后一个质数，将这个质数记录arr[j]++;}//根据公式，约数个数=（a1+1）*（a2+1）*(an+1)...a就是质因数出现次数（幂数）for(int i=2;i<=100;i++) {if(arr[i]!=0) sum*=(arr[i]+1);}//输出结果System.out.println(sum);}
}

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