将一根木棍分成三段，求这三段构成三角形的概率

题目：将一根木棍分成三段，求这三段构成三角形的概率。

方法一：

设线段长度为a，任意分成三段长分别为x，y和a-x-y，显然有x>0，y>0，a-x-y>0，将这三个约束条件画到(x,y)二维平面坐标系上，这三条直线围成了一个直角三角形即为可行域（图1），其面积为(1/2)a^2。

而这三段长能构成三角形的条件是：任意两边之和大于第三边，也就是下面三个不等式得同时成立：

x + y > a - x - y (x + y < a/2)

x + a - x - y > y (y < a/2)

y + a - x - y > x (x < a/2)

我们把上面三个不等式也画在平面直角坐标系中，可以看到可行域为图2中绿色的小三角形，其面积为:(1/8)a^2 ，占整个三角形的1/4。

故此三段能构成三角形的概率为1/4。

图1. 将a分成三段，每段大于零

图2. 三段可以构成三角形

方法二：

我们把一根木棍看成单位1，现在要在[0, 1]区间上选两个点，使得这两点划分的三条线段可以构成三角形。

现在我们先随意放一个点，可以在[0, 1]区间上的任何点，假设位置为x（不妨设x < 1/2，在右半边是对称的情况），那么如图3所示，为了使得能够构成三角形，另外一个点可以选取的区间为图中红色虚线之间（1/2, 1/2+x）。

只考虑x在左半边的时候，可以构成三角形的概率为：

右半边是一样的1/8，因此总概率为1/4。

图3. 在[0, 1]区间上两个断点可以放的位置

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