概率（3）一根木棍折断成3段构成一个三角形的概率

一根木棍折断成3段构成一个三角形的概率
1）先看看两个例子
a)用单位正方形分析两个小于1的随机正数之和的概率如图

b）|x-y|≤z 的概率，等于阴影部分的面积，如图

2）回到本题
i) 设木棍长为1个单位=1，所有可能折断后的3截尺寸只有两个未知数x与y，因第     三个就是1-(x+y),
    所有可能的结果：
    x>0, y>0, 1-(x+y)>0即x+y<1.
   用单位正方形方法分析，可知其总面积为下图中的大红三角形之面积=1/2

ii）构成三角形的条件：任两边之和大于第三边：
    x+y>1-(x+Y) 即 x+y > 1/2
    1-(x+y)+x>y 即 y < 1/2
   1-(x+y)+y>x   即 x < 1/2
   满足这3个条件的就是图中有阴影线的小三角形：
   其面积=（1/2）×（1/2）×（1/2）= 1/8

iii)构成三角形的概率，等于影线小三角形的面积 / 所有可能的结果面积：
        则有概率
      P=（1/8）/（1/2）= 1/4
    故答案是：1/4 = 0.25

     注：连续型随机变量的概率计算一般都是按照面积比来确定的。

依次考虑下面三个问题。

1. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截木棒平均有多长？

2. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，长的那一截木棒平均有多长？

3. 一根单位长的木棒。随机在中间选取一点，把这根木棒折断。那么，短的那一截与长的那一截的长度之比平均是多少？

没错，由于折断点均匀分布在这根木棒上，因此短的那一段木棒的长度也均匀地分布在 0 到 0.5 之间，它的平均长度是 0.25 ；类似地，长的那一段木棒，其长度也均匀分布在 0.5 到 1 之间，平均长度为 0.75 。不过，有趣的是，两段木棒长度的平均比值却并不是 1:3 。计算机模拟告诉我们，短木棒与长木棒的长度之比的期望值大约为 0.3863 ，要比 1:3 大一点点。平均的长度之比不等于平均长度之比，这似乎有悖于人们的直觉。

计算出准确的长度之比期望值可以作为又一个有趣的微积分练习题。对这个比值积分后容易得出答案：

也就是说，两段木棒的长度之比平均为 2·ln2 - 1 。令人称奇的是，神秘的常数 e 又一次出现在了本与它毫无关系的问题中！

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