如何通俗的解释全微分？

微积分这门学科，从字面上拆开来看，就是“微分”+“积分”。按道理把这个两个概念作为学科的名字，很显然是非常重要，但是我觉得很奇怪，《高等数学》同济版并不怎么讲“微分”这个概念，而是着重在讲解“微分”的一个性质“导数”，可能教材的目的是为了做题和考试吧。

在我看来，“微分”这个概念恰恰是理解微积分的关键，最好的表达了微积分这门学科的基本思想：“以直代曲，线性逼近”。

1 一元函数中的微分

一元函数中y的微分为：

《高等数学》的书上是这么解释的：

我们换一个视角：

“以直代曲”从字面上看的意思就是说，“直”可以替代“曲”，那么微分在什么时候可以取代曲线呢？

其实例子很多，比如说洛必达法则、泰勒公式、积分基本定理、牛顿迭代法，这些你要仔细去看，都会发现通过“以直代曲”去理解会多么的简单、直观。不过这些我都已经写过相关的回答了，我下面给出另外一个挺有趣的例子：

下面这2张图片，用了多段线段和代替原来的曲线。但注意当你取值为x1时，你不能出现2个y值，所以我刚刚提到了线段，就是说t1的起点出发，然后结束点是t2的起点，这段线段表示t1。以此类推。

当我们无限增加切线的时候，我们就需要用无限的加法，这就是积分（这个符号本身就是源于把英文Sum的首字母拉长）：

这是最基本的不定积分，我们可以把这个式子解读为，把所有的即微分加起来就得到了曲线。这就是“以直代曲”。

为什么有一个常数C呢？

为什么要“以直代曲”？我觉得答案很显然，因为直线研究起来更简单啊。

关于微分，还可以参考下我之前的回答：为什么要定义微分 ?

2 全微分

之前我回答过一个问题，无法理解高等数学怎么办？我在回答里面就说过学习应该循序渐进，意思就是，应该从已有的知识出发，保持足够小的步伐前进。

让我们把已有的知识称作i，足够小的步伐称为 +1 ，那么：

才是最有效的学习方法。

那么要理解全微分是什么，就让我们从一元微分出发。

我们来看看一元微分给了我们什么启示：

微分得是“直”的（这样才能“代曲”），一元是直线，二元只能是平面
微分和切线有关，一元微分就是切线，二元的情况要复杂一些

关于二元的切线，我们先要理解一点，在三维曲面上的点有无数条切线：

有了这些信息之后，我们就能很轻松的把一元微分推广到二元微分上去。

二元微分就是所有的切线都存在，并且都在一个平面。如果这样一个平面存在的话，它就是二元的微分，我们也叫它为“切平面”。这个微分可以提供对曲面很好的“线性近似”。

所有切线共面我觉得还挺神奇的，蛮难想象的。下面有个互动操作帮助你认识这个“全微分”，有条件最好在pc上观看，手机好像有点卡：

至于为什么所有的切线都会在切平面上，我会另文作答。

明白二元微分之后，我们就可以继续i+1，下去，把二元微积分推广出来。

3 全微分的条件

全微分于某点存在的充分条件函数在该点的某邻域内存在所有偏导数且所有偏导数于此点连续
全微分于某点存在的必要条件该点处所有方向导数存在(还有函数于该点连续等一堆显然的推论)
全微分于某点存在的充要条件对于二元函数事实上就是其几何意义用的不多只是加深理解的作用
还有一个充要关系即线性微分式dz=M(x,y)dx＋N(x,y)dy是全微分的充要条件为 M对x的偏导数=N对y的偏导数这个关系似乎也曾被称为全微分条件现在一般叫倒易关系或者Euler倒易关系

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