一根木根随机折成三截能拼成三角形的概率

一根木根随机折成三截能拼成三角形的概率是多少？

不妨令棍长为11，随机截成的三段中有两段长度分别为x，yx，y，则第三段z=1−x−yz=1-x-y。这时x，yx，y都是自由的随机变量，为了符合实际情况，要求满足：

⎧⎩⎨x>0y>0x+y<1

\begin{cases} x\gt 0 \\ y\gt 0 \\ x+y\lt 1 \end{cases}
这也是基本事件空间。
为了能够拼成三角形，三边长度要求满足：

⎧⎩⎨x+y>zx+z>yy+z>x

\begin{cases} x+y\gt z \\ x+z\gt y \\ y+z\gt x \end{cases}
解得：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪x<12y<12x+y>12

\begin{cases} x\lt \frac 1 2 \\ y\lt \frac 1 2 \\ x+y\gt \frac 1 2 \end{cases}
通过计算符合要求的区域面积与基本事件空间的面积，可以得到所求的概率是 14\frac 1 4。

问题似乎已经解决。。。但是有一个细节：人们折木棍时不可能一下折成三段，必须先折成两段，再选取其中一段再折成两段得到三段。上面情况其实是假设两个分点完全自由分布，如果是按照人的正常做法去计算概率，看起来两种方法是等价的，计算得到的概率会相同吗？

设先折下一段长度为xx，那么第二次就是从剩下的1−x1-x中折出长度为yy和z=1−x−yz=1-x-y的两段。
对于每一个确定的xx，可以计算此时能够拼成三角形的概率，此时yy是属于(0,x)(0,x)的随机变量。
(1)(1)若x≥12x\ge \frac 1 2，显然无论yy取何值都不能拼成三角形。
(2)(2)若x<12x\lt \frac 1 2，由

⎧⎩⎨x+y>zx+z>yy+z>x

\begin{cases} x+y\gt z \\ x+z\gt y \\ y+z\gt x \end{cases}
解得：

{y<12x+y>12

\begin{cases} y\lt \frac 1 2 \\ x+y\gt \frac 1 2 \\ \end{cases}
即

y∈(12−x,12)

y \in (\frac 1 2 -x,\frac 1 2)
区间长度为 xx，而yy是从 (0,x)(0,x)随机取值的变量，因此落在上述符合要求区间的概率是 x1−x\frac x {1-x}。
综上，对于一个确定的 xx，能够拼成三角形的概率

p(x)={x1−x,0,0<x<1212≤x<1

p(x)= \begin{cases} \frac x {1-x},&0\lt x\lt \frac 1 2 \\ 0,&\frac 1 2\le x \lt 1 \end{cases}
用 0≤x0<x1<⋯<xn≤10\le x_0\lt x_1\lt\dots\lt x_n\le 1将 (0,1)(0,1)分为 nn个长度为1n\frac 1 n的等长区间,z，在每一个区间 [xi−1,xi][x_{i-1},x_i]上任取一个点 ξi\xi_i，在 nn足够大时可以认为区间内每个点都有p(x)=p(ξi)p(x)=p(\xi_i)，而 xx落在这个区间内的概率是1n\frac 1 n，根据全概率公式，所求的总概率

P=limn→∞∑i=1n1np(ξi)

P=\lim \limits_{n \to \infty}\sum^n_{i=1}\frac 1 n p (\xi_i)
恰好是定积分的定义。由于 12≤x<1\frac 1 2\le x \lt 1时 p(x)=0p(x)=0，所以

P=∫120x1−xdx=−x−ln(1−x)|120=−12−ln12=ln2−12=0.1931…

\begin{align} P&=\int^{\frac 1 2}_0\frac x {1-x}\mathrm{d}x \\ &=-x-\ln(1-x) |^\frac 1 2_0 \\ &=-\frac 1 2-\ln\frac 1 2 \\ &=\ln 2 -\frac 1 2 \\ &=0.1931\dots \end{align}
也就是说，如果先折成两段，再选取其中一段再折成两段得到三段，概率大约是 0.19310.1931。

综上所述，如果折之前先找到要折两个分点，那么概率是14=0.25\frac 1 4=0.25；如果是两次随机折断，那么概率是ln2−12=0.1931…\ln 2 -\frac 1 2 =0.1931\dots，比第一种小一些。两种方法并不是等价的。

感谢我的数学老师在课上提出的这个有趣的问题。

欢迎指出错误！

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