高斯消元法小总结和瞎总结

啊搞到这个算法，大概已经在一周前了，一周前做去年西安邀请赛的题，其中有一题是要用到高斯消元法求系数，然后再用矩阵快速幂求正解，队里ZK命自认要学数学的我两天搞清楚那个题。。然后我就从高斯消元法入手了，大概看了两天吧，也有一定的了解了？（其实说麻烦挺麻烦，说简单也挺简单的。。主要是我天资愚钝，查阅了好多好多相关博客，模板，题解，还是不是很懂。。。）

时间大概过了有一周吧，凭借记忆来复述一把，接下来的一切不保证对错。（哈哈哈哈一想到我对自己这么不负责就想笑。。）

高斯消元法：主要是解多元一次方程的方法。。那么问题就来了，ACM题首先不是中文题，其次它也不会直接给你一个多元一次方程，然后让你来解。所以，高斯消元的难点一：方程难列。凭借我练的那么3个小水题，都是开关问题，就是触碰一个开关，周围相应对应几个也都会关，然后问你有几次操作可以全灭或全亮或者问你应该按那些个。。这一类开关问题的方程还是比较好列的，值得一提的是开关问题由于每个开关的选择都只有0和1（开和灭）所以就出现一种专门的高斯消元法模板那就是：高斯消元法异或版，可以通过异或直接求解（我其实并不是很懂异或的原理，但是反正有板子嘛。。。。）

然后就是两种正常的板子，一种有整数解，一种浮点数解。

（哈？是不是要详细解释一下高斯消元的具体操作过程啊。？emmm网上的总结比我的好的多了。）

（偏偏不信这个邪就要写个更简单通俗易懂的解释）

（写就写！）

高斯消元法主要就是解多元一次方程组；

（这里要用到线性代数的知识，我偏偏不用）

解多元一次方程组，第一步其实就是要化简每一个方程式，尽量让每个式子里的未知数都减少一点（这里我是不是应该像其他博客一样画个图解释一下 emm我偏不！）

（样例：（随便想的。。。为了方便计算还是想了个简单的数据还是化简半天。。。然后又简化数据）

5x+3y+6z=29 3z+0x+0y=9

4x+6y+2z=22 ==> （通过一阵上下加减消元然后上下左右移动一下）=》 2z+3x+0y=9

2x+3y+4z=20 1z+3x+2y=9

轻松解出：x=1,y=2,z=3；然后就看到其实我已经把式子摆成想让你看到的样子。

当然这是安排好的式子所以第一个式子里只有一个未知元第二个式子里有两个未知元而且未知元的系数均为整数

如果不是整数就有分数，有分数的话出来解就不是整数解也就要用到浮点数板子。。。。

所以其实高斯消元具体操作就是上面加粗的地方通过一系列操作确定每个式子的不定元有几个有哪些能否有解解是整数解

还是浮点数解 emmm 大概就是这样了~）

接下来就是最开心的帖代码时刻~

只上了kuangbin大神的板子：

#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<math.h>
using namespace std;const int MAXN=50;int a[MAXN][MAXN];//增广矩阵
int x[MAXN];//解集
bool free_x[MAXN];//标记是否是不确定的变元/*
void Debug(void){int i, j;for (i = 0; i < equ; i++){for (j = 0; j < var + 1; j++){cout << a[i][j] << " ";}cout << endl;}cout << endl;
}
*/inline int gcd(int a,int b){int t;while(b!=0){t=b;b=a%b;a=t;}return a;
}
inline int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;//先除后乘防溢出
}// 高斯消元法解方程组(Gauss-Jordan elimination).(-2表示有浮点数解，但无整数解，
//-1表示无解，0表示唯一解，大于0表示无穷解，并返回自由变元的个数)
//有equ个方程，var个变元。增广矩阵行数为equ,分别为0到equ-1,列数为var+1,分别为0到var.
int Gauss(int equ,int var){int i,j,k;int max_r;// 当前这列绝对值最大的行.int col;//当前处理的列int ta,tb;int LCM;int temp;int free_x_num;int free_index;for(int i=0;i<=var;i++){x[i]=0;free_x[i]=true;}//转换为阶梯阵.col=0; // 当前处理的列for(k = 0;k < equ && col < var;k++,col++){// 枚举当前处理的行.
// 找到该col列元素绝对值最大的那行与第k行交换.(为了在除法时减小误差)max_r=k;for(i=k+1;i<equ;i++){if(abs(a[i][col])>abs(a[max_r][col])) max_r=i;}if(max_r!=k){// 与第k行交换.for(j=k;j<var+1;j++) swap(a[k][j],a[max_r][j]);}if(a[k][col]==0){// 说明该col列第k行以下全是0了，则处理当前行的下一列.k--;continue;}for(i=k+1;i<equ;i++){// 枚举要删去的行.if(a[i][col]!=0){LCM = lcm(abs(a[i][col]),abs(a[k][col]));ta = LCM/abs(a[i][col]);tb = LCM/abs(a[k][col]);if(a[i][col]*a[k][col]<0)tb=-tb;//异号的情况是相加for(j=col;j<var+1;j++){a[i][j] = a[i][j]*ta-a[k][j]*tb;}}}}//  Debug();// 1. 无解的情况: 化简的增广阵中存在(0, 0, ..., a)这样的行(a != 0).for (i = k; i < equ; i++){ // 对于无穷解来说，如果要判断哪些是自由变元，那么初等行变换中的交换就会影响，则要记录交换.if (a[i][col] != 0) return -1;}// 2. 无穷解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中出现(0, 0, ..., 0)这样的行，即说明没有形成严格的上三角阵.// 且出现的行数即为自由变元的个数.if (k < var){// 首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个.for (i = k - 1; i >= 0; i--){// 第i行一定不会是(0, 0, ..., 0)的情况，因为这样的行是在第k行到第equ行.// 同样，第i行一定不会是(0, 0, ..., a), a != 0的情况，这样的无解的.free_x_num = 0; // 用于判断该行中的不确定的变元的个数，如果超过1个，则无法求解，它们仍然为不确定的变元.for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && free_x[j]) free_x_num++, free_index = j;}if (free_x_num > 1) continue; // 无法求解出确定的变元.// 说明就只有一个不确定的变元free_index，那么可以求解出该变元，且该变元是确定的.temp = a[i][var];for (j = 0; j < var; j++){if (a[i][j] != 0 && j != free_index) temp -= a[i][j] * x[j];}x[free_index] = temp / a[i][free_index]; // 求出该变元.free_x[free_index] = 0; // 该变元是确定的.}return var - k; // 自由变元有var - k个.}// 3. 唯一解的情况: 在var * (var + 1)的增广阵中形成严格的上三角阵.// 计算出Xn-1, Xn-2 ... X0.for (i = var - 1; i >= 0; i--){temp = a[i][var];for (j = i + 1; j < var; j++){if (a[i][j] != 0) temp -= a[i][j] * x[j];}if (temp % a[i][i] != 0) return -2; // 说明有浮点数解，但无整数解.x[i] = temp / a[i][i];}return 0;
}
int main(void){int i, j;int equ,var;while (scanf("%d %d", &equ, &var) != EOF){memset(a, 0, sizeof(a));for (i = 0; i < equ; i++){for (j = 0; j < var + 1; j++){scanf("%d", &a[i][j]);}}
//        Debug();int free_num = Gauss(equ,var);if (free_num == -1) printf("无解!\n");else if (free_num == -2) printf("有浮点数解，无整数解!\n");else if (free_num > 0){printf("无穷多解! 自由变元个数为%d\n", free_num);for (i = 0; i < var; i++){if (free_x[i]) printf("x%d 是不确定的\n", i + 1);else printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);}}else{for (i = 0; i < var; i++){printf("x%d: %d\n", i + 1, x[i]);}}printf("\n");}return 0;
}

值得注意的是上面的增广矩阵就是指多元一次方程组的系数和常数组成的行列式（还是要用到线代的知识。。。）模板里的解释和注释相当详细了。够慢慢研究了~。

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