【组合数学】通俗解释 Burnside引理和Polya定理

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前言
Burnside的数学定义：
用例子解释Burnside
用例子解释Polya定理
参考资料

前言

对于图形来说，如果通过旋转，图像能达到其他图像的效果，这叫做本质上一样。
Burnside的目的是，我们能有多少种排列方案，求的是一个方案的数量num。

Burnside的数学定义：

反正直接让我看这个定义…我是看不懂…所以还是直接上例子吧。

用例子解释Burnside

以上是四种情况，这就是四种置换，G = 4；
所以！！！例子套用Burnside引理就是 L = (16+2+4+2)/4 = 6。我们最终其实是有6种本质上不同的方案（在4种置换的前提下）。

用例子解释Polya定理

polya 定理实际上是burnside引理的具体化
我们继续用Burnside来做下一道题：
给每个格子编个号，每个格子有10种颜色，总共9个格子，总情况数10^9，已经没办法枚举出来了。
现在置换总共四种：
1. 旋转0度：就是10^9。无论你哪个格子染成什么颜色都没关系，旋转0度前后状态不变（这是显然的）。
2. 旋转90度：①③⑦⑨循环变换、②④⑥⑧循环变换，⑤永远不变。表示成置换群的乘积就是(1379)(2468)(5)。只要在同一个循环中的格子颜色一致，则在这种置换下状态永远不会改变。所以(1379)可以取10种颜色（四种黑、四种白、四种粉…等等一共十种四纯色）、(2468)可以取10种颜色、(5)可以取10种颜色，总方案数10^3（排列组合的乘法法则嘛）。
3. 旋转180度：置换群为(19)(28)(37)(46)(5)，总方案数10^5。
4. 旋转270度：类似旋转90度的，方案数10^3。

所以根据Burnside引理，总方案数就是(10⁹ + 10³ + 10⁵ + 10³)/4。接下来，就可以很好的理解Polya定理了。

参考资料

https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9114155.html

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