中心思想

数学上很多无法直接解决的复杂问题都是通过转换到其他简单的维度上进行解决的。如泰勒展开，幂级数等等。Laplace 变换就是这样。

A ( x ) = ∑ i = 1 + ∞ a i x i A(x)=\sum_{i=1}^{+ \infty }{a_i}x^i A(x)=∑i=1+∞aixi

一个函数可以用幂级数的方式表达。 a 1 , a 2 . . . a n {a_1,a_2...a_n} a1,a2...an,每组这样的序列能决定一个函数

将其推广成一般函数，离散i变成连续的t,

A ( x ) = ∫ 0 + ∞ x t f ( t ) d t A(x)=\int_0^{+\infty}x^tf(t)dt A(x)=∫0+∞xtf(t)dt

为了方便运算为了方便运算为了方便运算

A ( x ) = ∫ 0 + ∞ ( e l n x ) t f ( t ) d x A(x)=\int_0^{+\infty}(e^{lnx})^tf(t)dx A(x)=∫0+∞(elnx)tf(t)dx

为了方便

− s = l n x -s=lnx −s=lnx

于是有
A ( x ) = ∫ 0 + ∞ ( e − s ) t f ( t ) d x A(x)=\int_0^{+\infty}(e^{-s})^tf(t)dx A(x)=∫0+∞(e−s)tf(t)dx

接下来关注下取值范围，幂级数在 0<x<1时一定收敛，

− ∞ -\infty −∞<lnx<0
0<s< + ∞ +\infty +∞
定义完毕

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