【BZOJ3930】【CQOI2015】选数

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【思路要点】

显然问题可以转化为\(K=1\)的形式。

那么，我们实际上要求\(\sum_{i_1,i_2,...,i_N=L}^{R}\epsilon(gcd(i_1,i_2,...,i_N))\)。

\(=\sum_{i_1,i_2,...,i_N=L}^{R}\sum_{d/i_1,i_2,...,i_N}\mu(d)\)

\(=\sum_{d=1}^{R}\mu(d)(\lfloor\frac{R}{d}\rfloor-\lfloor\frac{L-1}{d}\rfloor)^N\)

其中\((\lfloor\frac{R}{d}\rfloor-\lfloor\frac{L-1}{d}\rfloor)^N\)只有\(O(\sqrt{L}+\sqrt{R})\)种取值，而\(\mu(d)\)的前缀和可以通过杜教筛求得。

时间复杂度\(O(L^{\frac{2}{3}}+R^{\frac{2}{3}}+(\sqrt{L}+\sqrt{R})*LogN)\)。

【代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 2e6 + 5;
const int P = 1e9 + 7;
template <typename T> void chkmax(T &x, T y) {x = max(x, y); }
template <typename T> void chkmin(T &x, T y) {x = min(x, y); }
template <typename T> void read(T &x) {x = 0; int f = 1;char c = getchar();for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') f = -f;for (; isdigit(c); c = getchar()) x = x * 10 + c - '0';x *= f;
}
template <typename T> void write(T x) {if (x < 0) x = -x, putchar('-');if (x > 9) write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
template <typename T> void writeln(T x) {write(x);puts("");
}
int tot, prime[MAXN], f[MAXN];
int miu[MAXN], s[MAXN];
int sl[MAXN], sr[MAXN];
int n, l, r, k;
void init() {miu[1] = s[1] = 1;for (int i = 2; i < MAXN; i++) {if (f[i] == 0) {f[i] = prime[++tot] = i;miu[i] = -1;}s[i] = (s[i - 1] + miu[i] + P) % P;for (int j = 1; j <= tot && prime[j] <= f[i]; j++) {int tmp = prime[j] * i;if (tmp >= MAXN) break;f[tmp] = prime[j];if (prime[j] == f[i]) miu[tmp] = 0;else miu[tmp] = -miu[i];}}
}
int getsl(int n) {int m = l / n, ans = 1;if (n < MAXN) return s[n];else if (sl[m] != -1) return sl[m];int now = 2;while (now <= n) {int nxt = n / (n / now) + 1;ans = (ans - 1ll * (nxt - now) * getsl(n / now) % P + P) % P;now = nxt;}return sl[m] = ans;
}
int getsr(int n) {int m = r / n, ans = 1;if (n < MAXN) return s[n];else if (sr[m] != -1) return sr[m];int now = 2;while (now <= n) {int nxt = n / (n / now) + 1;ans = (ans - 1ll * (nxt - now) * getsr(n / now) % P + P) % P;now = nxt;}return sr[m] = ans;
}
int power(int x, int y) {if (y == 0) return 1;int tmp = power(x, y / 2);if (y % 2 == 0) return 1ll * tmp * tmp % P;else return 1ll * tmp * tmp % P * x % P;
}
int main() {read(n), read(k), read(l), read(r);if (l % k == 0) l = l / k - 1;else l = l / k; r /= k;memset(sl, -1, sizeof(sl));memset(sr, -1, sizeof(sr));init();int now = 1, last = 0, ans = 0;while (now <= r) {int nxtl, nxtr;if (now <= l) nxtl = l / (l / now);else nxtl = r;nxtr = r / (r / now);if (nxtr <= nxtl) {ans = (ans + 1ll * (getsr(nxtr) - last + P) * power(r / now - l / now + P, n)) % P;last = getsr(nxtr); now = nxtr + 1;} else {ans = (ans + 1ll * (getsl(nxtl) - last + P) * power(r / now - l / now + P, n)) % P;last = getsl(nxtl); now = nxtl + 1;}}writeln(ans);return 0;
}

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