bzoj 3930: [CQOI2015]选数

Description

我们知道，从区间[L,H]（L和H为整数）中选取N个整数，总共有(H-L+1)^N种方案。小z很好奇这样选出的数的最大公约数的规律，他决定对每种方案选出的N个整数都求一次最大公约数，以便进一步研究。然而他很快发现工作量太大了，于是向你寻求帮助。你的任务很简单，小z会告诉你一个整数K，你需要回答他最大公约数刚好为K的选取方案有多少个。由于方案数较大，你只需要输出其除以1000000007的余数即可。
Input

输入一行，包含4个空格分开的正整数，依次为N，K，L和H。
Output

输出一个整数，为所求方案数。

解题报告:老套路设$f_i$表示gcd为i的方案数，转化为求[L/K,R/K]中互质的数对个数，答案即为$f_1$,考虑这一题数据范围较大，且$H-L<=10^5$，那么就需要用到结论:假设N个数不全相同，那么他们的最大公约数小于最大和最小的两个数之差，正确性显然,所以我们把状态改为:$f_i$表示选n个互不相同的数，gcd为i的方案数
令L=L/K，R=R/K
那么[L,R]间含i这个因子的数有(R/i)-((L-1)/i)种，所以选n个的方案数一共有$(R/i-(L-1)/i)^n$,再减去所有数都重复的$(R/i-(L-1)/i)$种，减完之后的值设为$tot$，然后就是推$fi$,因为现在的方案只是包含i这个因子，而不是gcd=i的方案，所以还要减去gcd不为i的方案
综上:$f_i=tot-\sum_{j=i*2}^{j=R-L}f_j$

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define RG register
#define il inline
#define iter iterator
#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))
#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e5+5,mod=1000000007;
ll qm(ll x,ll k){ll sum=1;while(k){if(k&1)sum*=x,sum%=mod;x*=x;x%=mod;k>>=1;}return sum;
}
ll f[N];
void work()
{int n,L,R,K;cin>>n>>K>>L>>R;bool flg=(L<=K && K<=R);L--;L/=K;R/=K;int c=R-L;ll l,r;for(int i=c;i>=1;i--){l=L/i;r=R/i;f[i]=((qm(r-l,n)-(r-l)%mod)+mod)%mod;for(int j=2;j*i<=c;j++)f[i]-=f[j*i],f[i]=(f[i]%mod+mod)%mod;}f[1]+=flg;f[1]%=mod;printf("%lld\n",f[1]);
}int main()
{work();return 0;
}

转载于:https://www.cnblogs.com/Yuzao/p/7466706.html

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