卡特兰数相关问题 hdu 5184 Brackets

题解：

当n为奇数的时候答案是0。
先判断字符串的前面是否符合括号匹配，即对于任何前缀左括号个数>=右括号个数。
设左括号个数为a右括号个数为b, m=n/2，问题可以转化为在平面中从座标(a,b)沿网格走到(m,m) 且不跨过x=y这一条直线的方法数。数据太大，普通DP和搜索都不行的。
问题可以进一步转化为从(a-n,b-n)到(0,0)且不跨过x=y的方法数。再对称一下，转化到(0,0)到(n-b,n-a)不跨过x=y的方法数。对于从(0,0)点走到(p,q)点不跨过x=y的方法数是

p−q+1p+1Cqp+q

证明如下：
我们可以通过总的数目来减掉非法的数目即可。
把(0,0)和(p,q)都往下移一格，非法数目即为(0,-1)到(p,q-1)且路径中至少有一点和x=y相交的方法数。记(d,d)为从(0,-1)到(p,q-1)路径中最先和x=y相交的点。则由于对称性(-1,0)到(d,d)的方法数和(0,-1)到(d,d)的方法数是相同的。所以(0,-1)到(p,q-1)且与x=y相交的方法数和(-1,0)到(p,q-1)的方法数是相同的。
所以答案是

Cqp+q−Cq−1p+q=p−q+1p+1Cqp+q

然后对100W以内的数字进行一个阶乘处理，就可以O(1)得出答案了。

相关问题：

经典的买票问题，：本次足球比赛的门票为50元，而站排买票的球迷有m个人手里拿着一张面值50元的钞票，有n个人手里拿着一张面值100元的钞票。工作人员事先忘了为售票处准备任何零钱，请问您是否能算出这(m+n)个人共有多少种排队方式买票，使售票处不至于出现找不开钱的尴尬局面？

问题即p个‘（’，q个‘）’，p>=q，满足条件的排列数，答案即为Cqp+q−Cq−1p+q=p−q+1p+1Cqp+q

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<utility>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<math.h>
#include<string>
using namespace std;
#define inf 0x3f3f3f3f
#pragma warning(disable:4996)
#pragma comment(linker, "/STACK:102400000,102400000")
#define ll long long
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define pii pair<int,int>
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
const double eps = 1e-9;
const ll mod = 1e9 + 7;
#define N 1000000char p[1000010];
ll h[N+10]; //阶乘表
ll g[N+10]; //阶乘逆元表
ll inv(ll a, ll mod)
{return a == 1 ? 1 : (mod - mod / a) * inv(mod % a, mod) % mod;
}
ll C(int a, int b)
{if (a < b) return 0;return h[a] * g[b] % mod*g[a - b] % mod;
}
void init()
{int i;h[0] = 1;for (i = 1; i <= N; i++)h[i] = h[i - 1] * i%mod;g[N] = inv(h[N], mod);for (i = N; i >= 1; i--)g[i - 1] = g[i] * i%mod;
}
int main()
{int i, j, k;int n;init();while (scanf("%d", &n) != EOF){scanf("%s", p);if (n & 1){printf("0\n");continue;}int sum = 0;int len = strlen(p);int flag = 0;for (i = 0; i < len; i++){if (p[i] == '(')sum++;else sum--;if (sum < 0){flag = 1;break;}}if (flag == 1){printf("0\n");continue;}n -= len;if (n == 0){if (sum == 0)printf("1\n");elseprintf("0\n");continue;}if (n < sum){printf("0\n");continue;}if (n == sum){printf("1\n");continue;}if ((n - sum) % 2 == 1){printf("0\n");continue;}int th = (n - sum) / 2;int q = th, p = th + sum;ll ans = C(p + q, q)*(p - q + 1) % mod*inv(p + 1, mod) % mod;printf("%I64d\n", ans);}
}

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