背景简介

采用“M/N”检测，即NNN次独立检测，MMM次检测到目标即确定目标存在。对于虚警，只需要将假设修改为目标不存在，其他一致。

两假设如下：
H0:z(k)=n(k)H1:z(k)=A+n(k)k=0,1,⋯,N−1\begin{matrix}H_0:&z(k)=n(k)\\H_1:&z(k)=A+n(k)\\ \end{matrix}\quad k=0,1,\cdots,N-1H0:H1:z(k)=n(k)z(k)=A+n(k)k=0,1,⋯,N−1
其中，n(k)n(k)n(k)服从参量σ\sigmaσ已知的瑞利分布，其PDF如下
f(z)=zσ2⋅e−z22σ2f(z)=\frac{z}{\sigma^2}\cdot e^{-\frac{z^2}{2\sigma^2}}f(z)=σ2z⋅e−2σ2z2
AAA为确定性常数。

虚警、检测概率

综上，假设A>0A>0A>0、虚警概率为PFAP_{FA}PFA，可以写出单次检测的门限γ\gammaγ和检测概率PDP_DPD如下：
γ=−2σ2⋅ln⁡PFAPD=e−(A−γ)22σ2\gamma=\sqrt{-2\sigma^2\cdot\ln P_{FA}}\\ P_D=e^{-\frac{(A-\gamma)^2}{2\sigma^2}}γ=−2σ2⋅lnPFAPD=e−2σ2(A−γ)2

对于A<0A<0A<0的情况，可以推到类似结论，只是在上述结论的基础上减一取负。

对于“1/N”检验，显然其总检测概率和虚警概率如下：
PD′=1−(1−PD)NPFA′=1−(1−PFA)NP_D^\prime=1-(1-P_D)^N\\P_{FA}^\prime=1-(1-P_{FA})^NPD′=1−(1−PD)NPFA′=1−(1−PFA)N

MATLAB仿真

可以通过MATLAB仿真验证上述结论。设σ=1\sigma=1σ=1、A=1A=1A=1、N=10N=10N=10，假设单次虚警概率PFA=0.01P_{FA}=0.01PFA=0.01。直接给出MATLAB代码。

主程序：

%% clear
close all;
clearvars;
clc;
%% variables
pfa = 0.01;  % 虚警
sigma = 1;  % 标准差，是sigma不是sigma^2
A = 1;   % A必须大于0
N = 10;
M = 1;
simulationTimes = 10000;
threshold = sqrt(-2 * sigma^2 * log(pfa));
pd = exp(-1 * (A - threshold)^2 / (2 * sigma^2));
%% draw histogram
noise = RayleighDistRandArr(sigma,[1,N * simulationTimes]);
% simulationTimes倍
signal = A + RayleighDistRandArr(sigma,[1,N * simulationTimes]);
f1 = figure(1);
subplot(2,1,1);
histogram(noise);
title("噪声的PDF");
xlim([0,10]);
subplot(2,1,2);
histogram(signal);
title("信号的PDF");
xlim([0,10]);
sgtitle("噪声和信号的概率分布统计直方图");
% close(f1);
%% monte-carlo simulation
noiseDetections = zeros([1,simulationTimes]);
for mcT = 1:simulationTimesnoise = RayleighDistRandArr(sigma,[1,N]);detection = (noise >= threshold);sumDetection = (sum(detection,'all') >= M); % 1/N检测的总检测noiseDetections(1,mcT) = sumDetection;
end
pfa_simu = sum(noiseDetections,'all') / simulationTimes;
% 仿真的虚警率
disp(strcat("理论单次虚警率 ",num2str(pfa)," ，仿真的总虚警率 ",num2str(pfa_simu)));signalDetections = zeros([1,simulationTimes]);
for mcT = 1:simulationTimessignal = A + RayleighDistRandArr(sigma,[1,N]);detection = (signal >= threshold);sumDetection = (sum(detection,'all') >= M); % 1/N检测的总检测signalDetections(1,mcT) = sumDetection;
end
pd_simu = sum(signalDetections,'all') / simulationTimes;
% 仿真的检测率
disp(strcat("理论单次检测率 ",num2str(pd)," ，仿真的总检测率 ",num2str(pd_simu)));

RayleighDistRandArr.m

function value = RayleighDistRandArr(sigma,arrayShape)
%RayleighDistRand  生成服从瑞利分布的随机数
%   value = RayleighDistRand(sigma) 生成一个服从瑞利分布的随机数，
%   其中，瑞利分布内的参数为sigma，sigma必须大于0，且为实数。
%
%   value = RayleighDistRand(sigma,arrayShape) 根据arrayShape
%   指定的大小生成服从瑞利分布的随机数矩阵。
%
%   Copyright 小涛29 2022if nargin < 1error(message('必须输入sigma'));elseif nargin >= 2% 输入两个数，生成arrayShape形状的矩阵normRandValue = rand(arrayShape);else% 输入一个数，内部生成一个1x1的normRandValue值normRandValue = rand;endendsigma = real(sigma);if (any(normRandValue < 0,'all') && any(normRandValue > 1,'all'))% 随机值不是[0,1]内的随机分布，报错error(message('输入随机数必须是[0,1]内的均匀分布'));endif (sigma < 0)% sigma必须大于0error(message('sigma必须大于0'));endvalue = sqrt(-2 * log(normRandValue)) * sigma;% 将均匀分布转换为瑞利分布
end

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