一、相关函数应用场景

求下面信号的 " 自相关函数 " :

x(n)=sin⁡(2πfn)+N(n)x(n) = \sin(2\pi fn) + N(n)x(n)=sin(2πfn)+N(n)

其中 N(n)N(n)N(n) 为高斯白噪声 ;

高斯白噪声符合正态分布特性 , 其均值为 000 , 方差为 111 , 其功率谱密度是白的 , 在所有的频率上 , 其功率都相同 ;

令

s(n)=sin⁡(2πfn)s(n) = \sin(2\pi fn)s(n)=sin(2πfn)

则有

x(n)=s(n)+N(n)x(n) = s(n) + N(n)x(n)=s(n)+N(n)

自相关函数公式为 :

rx(m)=∑n=−∞+∞x∗(n)x(n+m)r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x^*(n) x(n + m) rx(m)=n=−∞∑+∞x∗(n)x(n+m)

代入 x(n)=s(n)+N(n)x(n) = s(n) + N(n)x(n)=s(n)+N(n) , 求该信号的自相关函数 , 由于都是实型号 , 不存在共轭 , 式子变为 :

rx(m)=∑n=−∞+∞[s(n)+N(n)][s(n+m)+N(n+m)]r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [s(n) + N(n)] [s(n + m) + N(n + m)] rx(m)=n=−∞∑+∞[s(n)+N(n)][s(n+m)+N(n+m)]

展开式子 :

rx(m)=∑n=−∞+∞[s(n)s(n+m)+N(n)s(n+m)+s(n)N(n+m)+N(n)N(n+m)]r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} [s(n) s(n + m) + N(n) s(n + m) +s(n)N(n + m) +N(n)N(n + m) ]rx(m)=n=−∞∑+∞[s(n)s(n+m)+N(n)s(n+m)+s(n)N(n+m)+N(n)N(n+m)]

进一步将加和符号展开 :

rx(m)=∑n=−∞+∞s(n)s(n+m)+∑n=−∞+∞N(n)s(n+m)+∑n=−∞+∞s(n)N(n+m)+∑n=−∞+∞N(n)N(n+m)r_x(m) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) s(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}N(n) s(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}s(n)N(n + m) + \sum_{n=-\infty}^{+\infty}N(n)N(n + m)rx(m)=n=−∞∑+∞s(n)s(n+m)+n=−∞∑+∞N(n)s(n+m)+n=−∞∑+∞s(n)N(n+m)+n=−∞∑+∞N(n)N(n+m)

其中 :

∑n=−∞+∞s(n)s(n+m)=rs(m)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n) s(n + m) = r_s(m)n=−∞∑+∞s(n)s(n+m)=rs(m)

∑n=−∞+∞N(n)s(n+m)=rNs(m)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} N(n) s(n + m) = r_{Ns}(m)n=−∞∑+∞N(n)s(n+m)=rNs(m)

∑n=−∞+∞s(n)N(n+m)=rsN(m)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} s(n)N(n + m) = r_{sN}(m)n=−∞∑+∞s(n)N(n+m)=rsN(m)

∑n=−∞+∞N(n)N(n+m)=rN(m)\sum_{n=-\infty}^{+\infty} N(n)N(n + m) = r_{N}(m)n=−∞∑+∞N(n)N(n+m)=rN(m)

最终得到结果 :

rx(m)=rs(m)+rNs(m)+rsN(m)+rN(m)r_x(m) = r_s(m) + r_{Ns}(m) + r_{sN}(m) + r_{N}(m)rx(m)=rs(m)+rNs(m)+rsN(m)+rN(m)

rNs(m)≈0r_{Ns}(m) \approx 0rNs(m)≈0 , rsN(m)≈0r_{sN}(m) \approx 0rsN(m)≈0 , rN(m)=白噪声方差r_{N}(m) = 白噪声方差rN(m)=白噪声方差 ;

因此有 rx(m)=rs(m)+rN(m)r_{x}(m) = r_s(m) + r_N(m)rx(m)=rs(m)+rN(m) ;

由于高斯白噪声是随机的 ,

噪声信号是功率信号 , 在 m=0m = 0m=0 时 , 是完全相关的 , 相关函数值就是功率值 ,

但是只要 mmm 不为 000 , 噪声信号错开了一点 , 那就是完全不相关了 ,

自相关函数与功率谱密度是一对傅里叶变换对 , 如果自相关函数具备该特点 ,

在 m=0m = 0m=0 时 , 相当于 δ(n)\delta(n)δ(n) 信号 , δ(n)\delta(n)δ(n) 信号的傅里叶变换为 111 , 其在所有的频率上其功率密度函数都是 111 , 在所有的频率上都是有功率分布的 ;

在噪声中检测信号 ,

rN(m)r_N(m)rN(m) 只有在 m=0m=0m=0 时有值 ,

一旦 mmm 增加或减小 ( 绝对值增加 ) , 该 rN(m)r_N(m)rN(m) 值会趋于 000 ,

剩下的那个就可以检测出来了 ;

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